Question

12．水平傳送帶勻速運(yùn)行，把一質(zhì)量為m的小物塊（中央有小孔）輕輕放到傳送帶的右端，物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，物塊在傳送帶的帶動(dòng)下沿虛線向左運(yùn)動(dòng)，最后勻速運(yùn)動(dòng)離開傳送帶時(shí)小孔恰能在A點(diǎn)穿入被豎直固定的彎曲成“6”狀的細(xì)鐵絲．BC部分是半徑為R的半圓，已知AC高度為R，物體從A到C的過程中阻力做功W=$\frac{3}{2}mgR$，重力加速度為g．求：
（1）如果小物塊達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，和細(xì)鐵絲間剛好沒有作用力，則傳送帶的速度V應(yīng)多大？
（2）設(shè)小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)鐵絲的作用力大小為mg，則傳送帶對(duì)小物塊做了多少功？

Answer 1

分析 （1）如果小物塊達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，和細(xì)鐵絲間剛好沒有作用力，則在C點(diǎn)由重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出此時(shí)的速度，再?gòu)腁到C的過程，根據(jù)動(dòng)能定理列式求出物塊到達(dá)A點(diǎn)的速度，而物塊最后勻速運(yùn)動(dòng)離開傳送帶，則勻速運(yùn)動(dòng)的速度與傳送帶速度相等；
（2）小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)鐵絲的作用力大小為mg，分兩種情況，一個(gè)是方向向下，一個(gè)是方向向上，根據(jù)向心力公式求出兩種情況下的速度，再?gòu)某跷恢玫紺點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解傳送帶對(duì)小物塊做的功．

解答 解：（1）在C點(diǎn)由重力提供向心力，則有：
mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$
從A到C的過程，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=mgR-W$
解得：v_A=$\sqrt{2gR}$
物塊最后勻速運(yùn)動(dòng)離開傳送帶，則勻速運(yùn)動(dòng)的速度與傳送帶速度相等，即V=$\sqrt{2gR}$，
（2）若小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)鐵絲的作用力大小為mg，方向向下，則鐵絲對(duì)物體有向上的支持力，大小為mg，則物塊在C點(diǎn)的合力為零，根據(jù)向心力公式可知，此時(shí)物體速度為0，
從初位置到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
0-0=W_傳+mgR-W
解得：${W}_{傳}=\frac{1}{2}mgR$，
若小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)鐵絲的作用力大小為mg，方向向上，則鐵絲對(duì)物體有向下的壓力，大小為mg，根據(jù)向心力公式可知，
mg+mg=m$\frac{{v}_{C}{′}^{2}}{R}$
解得：${v}_{C}′=\sqrt{2gR}$
從初位置到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}-0$=W_傳′+mgR-W
解得：${W}_{傳}′=\frac{3}{2}mgR$
答：（1）如果小物塊達(dá)到C點(diǎn)時(shí)，和細(xì)鐵絲間剛好沒有作用力，則傳送帶的速度v應(yīng)為$\sqrt{2gR}$；
（2）設(shè)小物體運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)，對(duì)鐵絲的作用力大小為mg，則傳送帶對(duì)小物塊做$\frac{1}{2}mgR$或$\frac{3}{2}mgR$的功．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵把物體的各個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況分析清楚，然后結(jié)合動(dòng)能定理、向心力公式求解，特別注意第二問中，要分兩種情況討論求解，難度適中．