Question

16．如圖，O、M、N為同一平面內(nèi)的三點(diǎn)，∠MON=60°，OM=a，ON=3a．現(xiàn)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直△OMN所在平面向外，將一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子以一定的初動(dòng)能從O點(diǎn)垂直O(jiān)N向右射出，粒子恰能通過(guò)M點(diǎn)．在△OMN所在平面再加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向與平面平行，若以同樣的初動(dòng)能從O點(diǎn)沿某一方向射出上述粒子，該粒子通過(guò)了M點(diǎn)，到達(dá)M點(diǎn)的動(dòng)能是初動(dòng)能的5倍；將該粒子以同樣的初動(dòng)能沿另一方向射出，恰好通過(guò)N點(diǎn)，到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為初動(dòng)能的7倍．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）僅存在磁場(chǎng)時(shí)粒子從O運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間；
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，根據(jù)周期公式，結(jié)合圓心角的大小求出粒子從O運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間；
（2）根據(jù)半徑公式求出粒子的初速度，從而得出粒子的初動(dòng)能．根據(jù)動(dòng)能定理求出OM和ON間電勢(shì)差的關(guān)系，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿任一直線，電勢(shì)的降落是均勻的，通過(guò)幾何關(guān)系作出等勢(shì)線，抓住電場(chǎng)線和等勢(shì)線垂直得出電場(chǎng)強(qiáng)度的方向．根據(jù)電勢(shì)差的大小及兩點(diǎn)沿電場(chǎng)線方向的距離求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�

解答 解：（1）設(shè)粒子的初速度為v₀，在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O₁，半徑為r，
$q{v}_{0}B=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
由幾何關(guān)系可知r=a，
$T=\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{2πm}{qB}$，
$t=\frac{60°}{360°}T$，
解得t=$\frac{πm}{3qB}$．
（2）粒子的初動(dòng)能${E}_{k0}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{{q}^{2}{B}^{2}{a}^{2}}{2m}$，
加電場(chǎng)后，粒子從O點(diǎn)到M點(diǎn)和N點(diǎn)，由動(dòng)能定理得，
qU_OM=5E_k0-E_k0，
qU_ON=7E_k0-E_k0，
在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，沿任一直線，電勢(shì)的降落是均勻的，設(shè)直線ON上的S點(diǎn)與M點(diǎn)等電勢(shì)，S點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為x，
$\frac{x}{3a}=\frac{{U}_{OM}}{{U}_{0N}}$，
解得x=2a，SM為等勢(shì)線，電場(chǎng)線必與其垂直，由幾何關(guān)系可知，OM⊥SM，
即電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿OM方向，
設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，有qEa=qU_OM，
解得E=$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$．
答：（1）僅存在磁場(chǎng)時(shí)粒子從O運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的時(shí)間為$\frac{πm}{3qB}$．
（2）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小$\frac{2q{B}^{2}a}{m}$，電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿OM方向．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)于粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定圓心、半徑和圓心角，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．對(duì)于第二問(wèn)，通過(guò)動(dòng)能定理得出電勢(shì)差的關(guān)系，結(jié)合幾何關(guān)系確定出等勢(shì)線是解決的關(guān)鍵．