Question

如圖示，質(zhì)量的彈性小球A在長為的細(xì)輕繩牽引下可以繞水平軸O在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，圓周的最高點(diǎn)為P.小球A在豎直平面內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)過程中，由于該空間存在某種特殊物質(zhì)的作用，使得小球A在豎直平面內(nèi)每轉(zhuǎn)動(dòng)半周都會(huì)損失一部分動(dòng)能，設(shè)每次損失的動(dòng)能均為它每次經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)動(dòng)能的.現(xiàn)小球在頂點(diǎn)P以的初速度向左轉(zhuǎn)動(dòng).P處有一個(gè)水平槽，槽內(nèi)有許多質(zhì)量均為的彈性鋼球，小球A每次轉(zhuǎn)動(dòng)到P點(diǎn)恰好與P點(diǎn)處的小鋼球發(fā)生彈性正碰，鋼球水平飛出做平拋運(yùn)動(dòng).每次被小球A碰撞后，槽內(nèi)填充裝置可將鋼球自動(dòng)填充動(dòng)到P點(diǎn)位置且靜止.已知水平地面距水平槽的高度恰好是1.8m，小球均可視為質(zhì)點(diǎn).求：

⑴小球A第一次過最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力（保留3位有效數(shù)字）；

⑵小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)；

⑶第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離（保留3位有效數(shù)字）.

Answer 1

【答案】⑴；⑵4個(gè)；⑶

【命題立意】本題旨在考查動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系。

【解析】⑴小球A從頂部運(yùn)動(dòng)到底部過程根據(jù)功能關(guān)系有：

  

在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律知：，

聯(lián)立可解得：

⑵小球第一次轉(zhuǎn)回到頂部碰前狀況，設(shè)其速度為，根據(jù)題意可知，損失部分機(jī)械能，重力勢能不變，

 

解得：

小球A在頂部與鋼球碰撞，由動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律得：

 

 

聯(lián)立解得：，負(fù)號表示與碰前入射速度方向相反

同理可得，碰撞n次以后瞬間的速度為，則：

，負(fù)號表示與碰前入射速度方向相反，

小球要能與鋼球碰撞則必須能完成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，所以碰n次后假定再次到達(dá)P位置，其速度一定有：

所以：

解得：，由于n是自然數(shù)，所以，小球A可以與4 個(gè)鋼球碰撞；

⑶第一個(gè)鋼球碰后速度：

第4個(gè)鋼球碰撞后速度：

由于兩球是分別朝向左右兩邊做平拋運(yùn)動(dòng)的，所以水平距離是：

平拋時(shí)間是：  

，

得：

答：⑴小球A第一次過最低點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力為；⑵小球A能將鋼球碰出去的鋼球個(gè)數(shù)為4個(gè)；⑶第一個(gè)鋼球與最后一個(gè)鋼球落地后的水平距離。