Question

19．如圖所示，質(zhì)量分布均勻的小球，質(zhì)量為m、半徑為R；傾角α=45°的斜面體，質(zhì)量為M，放置在水平面上．在水平推力作用下，使斜面體底角剛好與墻角接觸．撤去推力后小球和斜面體均做勻加速直線運動，直到小球恰好落地．不計一切摩擦，重力加速度為g．
（1）求靜止時，水平推力F的大小；
（2）試判斷在撤去水平推力的瞬間，小球和斜面體之間的彈力是保持不變、突然增大，還是突然減小，并證明在撤去水平推力后，小球和斜面體做勻加速直線運動時加速度的大小相等；
（3）求撤去水平推力后，球著地瞬間斜面體的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）靜止時，先分析小球的受力情況，由平衡條件求墻壁對小球的彈力，再對整體，運用平衡條件求F的大�。�
（2）撤去水平推力后，小球和斜面體均做勻加速直線運動，根據(jù)幾何關(guān)系求出它們的位移關(guān)系，再由位移時間公式證明加速度關(guān)系．
（3）撤去推力后，求出小球下降的高度，再根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求球著地瞬間斜面體的速度大�。�

解答 解：（1）對小球分析：受到重力mg、墻壁的彈力F₁、斜面體的支持力F₂．如下圖所示．

對小球由平衡條件得到 F₁=mgtanα=mg
對整體整體平衡得到 F=F₁=mg
（2）在撤去水平推力的瞬間，小球和斜面體之間的彈力突然減小 
設(shè)在撤去水平推力后，小球和斜面體做勻加速直線運動的位移的大小分別是x_m和x_M，加速度的大小分別是a_m和a_M，則由幾何關(guān)系可知
 $\frac{{x}_{m}}{{x}_{M}}$=tan45°
又 x_m=$\frac{1}{2}{a}_{m}{t}^{2}$，x_M=$\frac{1}{2}{a}_{M}{t}^{2}$
聯(lián)立可得   a_m=a_M                     
（3）由幾何關(guān)系得到小球的重心位置下降高度△h=2Rcos45°=$\sqrt{2}$R

撤去水平推力后：
“小球+斜面體”系統(tǒng)機械能守恒得：
  mg△h=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+$\frac{1}{2}M{v}_{M}^{2}$        
小球和斜面體之間的速度關(guān)系 v_m=v_Mtan45°               
解得 v_M=$\sqrt{2\sqrt{2}\frac{m}{M+m}gR}$
答：
（1）靜止時，水平推力F的大小是mg．
（2）證明見上．
（3）撤去水平推力后，球著地瞬間斜面體的速度大小是$\sqrt{2\sqrt{2}\frac{m}{M+m}gR}$．

點評 本題涉及兩個物體，首先要選好研究對象，對平衡問題，采用隔離法和整體法結(jié)合研究，比較簡便．對兩個物體都運動的情形，關(guān)鍵要分析出它們位移關(guān)系、速度關(guān)系和加速度關(guān)系．