Question

1．“太空粒子探測(cè)器”是安裝在國(guó)際空間站上的一種粒子物理試驗(yàn)設(shè)備，用于探測(cè)宇宙中的奇異物質(zhì)．該設(shè)備的原理可簡(jiǎn)化如下：如圖所示，輻射狀的加速電場(chǎng)區(qū)域邊界為兩個(gè)同心平行半圓弧面MN和M′N′，圓心為O，弧面MN與弧面M′N′間的電勢(shì)差設(shè)為U，在加速電場(chǎng)的右邊有一寬度為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里，磁場(chǎng)的右邊界放有一足夠長(zhǎng)的熒光屏PQ．假設(shè)太空中漂浮著質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子，它們能均勻地吸附到MN圓弧面上，并被加速電場(chǎng)從靜止開始加速，不計(jì)粒子間的相互作用和其它星球?qū)αＷ右�力的影響�?br />（1）若測(cè)得粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{L}{2}$，試求出U；
（2）若取U=$\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$，試求出粒子從O點(diǎn)到達(dá)熒光屏PQ的最短時(shí)間；
（3）若測(cè)得粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{2}{3}$L，試求熒光屏PQ上發(fā)光的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，先求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，然后根據(jù)動(dòng)能定理，求出電場(chǎng)力做功，最后求出U；
（2）首先根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，然后根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式，求出粒子運(yùn)動(dòng)半徑，利用幾何中圓的特性可知弦長(zhǎng)最短，所對(duì)的圓弧長(zhǎng)最短，速度相同的話，時(shí)間最短；
（3）首先畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)題意找出臨界值，最后根據(jù)幾何知識(shí)求出相應(yīng)線段長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，$r=\frac{L}{2}$
帶電粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，由動(dòng)能定理，$qU=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
得：$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{8m}$
（2）當(dāng)$U=\frac{{q{B^2}{L^2}}}{2m}$時(shí)，
由上題結(jié)論可知：r=L
從O點(diǎn)斜向下射入磁場(chǎng)時(shí)，OC為弦，
到達(dá)PQ屏?xí)r間最短，
由幾何關(guān)系可知：
OD=CD=OC=L     故θ=60°
得：$t=\frac{1}{6}T$，$T=\frac{2πm}{Bq}$，$t=\frac{πm}{3Bq}$
（3）設(shè)粒子打在C點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)為E，此時(shí)圓弧與PQ屏相切于E點(diǎn)，
過圓心O₁作OC的垂線O₁G，在直角△OO₁G中，
OO₁=r=$\frac{2}{3}L$，OG=L-r=$\frac{1}{3}L$
所以O(shè)₁G=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$即CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
設(shè)粒子打在C點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)為F，此時(shí)粒子從O點(diǎn)豎直向下進(jìn)入磁場(chǎng)，圓弧與PQ交于F點(diǎn)．
同理可得：CF=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L$
所以，熒光屏PQ上發(fā)光的長(zhǎng)度EF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}L$．
答：（1）U為$\frac{q{B}^{2}{L}^{2}}{8m}$；
（2）粒子從O點(diǎn)到達(dá)熒光屏PQ的最短時(shí)間為$\frac{πm}{3Bq}$；
（3）熒光屏PQ上發(fā)光的長(zhǎng)度為$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$．

點(diǎn)評(píng) 靜電力做功和動(dòng)能定理結(jié)合的是電磁大題常出現(xiàn)的考點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握．磁場(chǎng)中粒子軌跡問題需在紙上畫出草圖，結(jié)合圓的幾何知識(shí)求解，此題難點(diǎn)再與臨界點(diǎn)如何求，可以運(yùn)用極限分析法分析．