Question

1．質量為m的衛(wèi)星與質量為M的中心天體的球心間距離為r時，衛(wèi)星的引力勢能可表示為E_P=-$\frac{GMm}{r}$，且其機械能E=E_k+E_p，其中E_k為衛(wèi)星所具有的動能．已知衛(wèi)星離中心天體的地面高度為h時，其所具有的機械能為-E₀，引力常量G、M、m均已知．求：
（1）該中心天體的球體半徑；
（2）衛(wèi)星圍繞該中心天體做勻速圓周運動的最大環(huán)繞速度．

Answer 1

分析 （1）離地面高度為h時，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得衛(wèi)星的動能，再根據(jù)機械能得到衛(wèi)星在勢能表達式，根據(jù)勢能表達式求得該中心天體的半徑；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力可知，當軌道半徑與天體半徑相等時衛(wèi)星的環(huán)繞速度最大，據(jù)此求得最大速度即可．

解答 解：（1）離地面高度為h時，衛(wèi)星距天體球心的距離r=R+h，根據(jù)勢能表達式有：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{R+h}$
在離地h處，衛(wèi)星圓周運動的向心力由萬有引力提供，則有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得此時衛(wèi)星的動能為：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}•\frac{GMm}{r}$=$\frac{GMm}{2（R+h）}$
又此時衛(wèi)星的機械能為-E₀，所以可得離地面h處衛(wèi)星的勢能為：
${E}_{p}=-{E}_{0}-{E}_{k}=-{E}_{0}-\frac{GmM}{2（R+h）}$
綜上可知，衛(wèi)星在離地面h處的勢能為：
${E}_{p}=-\frac{GMm}{R+h}=-{E}_{0}-\frac{GMm}{2（R+h）}$
由此解得：R=$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$
（2）衛(wèi)星繞天體圓周運動萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得衛(wèi)星的運行速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，即速度大小與衛(wèi)星的軌道半徑的平方根成反比，故當r=R時衛(wèi)星具有最大環(huán)繞速度為：
${v}_{m}=\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$
答：（1）該中心天體的球體半徑為$\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h$；
（2）衛(wèi)星圍繞該中心天體做勻速圓周運動的最大環(huán)繞速度為$\sqrt{\frac{GM}{\frac{GMm}{2{E}_{0}}-h}}$．

點評 萬有引的應用主要分為兩大類，一是天體表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力．能據(jù)此列式是解決此類問題的關鍵．