Question

一名宇航員抵達某星球后，測得：①載人飛船環(huán)繞該星球表面n圈所用的時間為t；②擺長為l的單擺在該星球上的周期為T．已知萬有引力恒量為G，不計阻力．試根據(jù)題中所提供的條件和測量結果，求：
（1）環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意求出載人飛船繞星球表面做圓周運動的周期，該周期是飛船繞星球運動的最小周期；
（2）載人飛船繞星球做圓周運動的向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程可以求出星球的質量，然后由密度公式求出星球的密度；
（3）由單擺的周期公式求出星球表面的重力加速度，星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，
繞星球表面做圓周運動的速度是第一宇宙速度，根據(jù)萬有引力公式列方程，求出該星球的第一宇宙速度．
解答：解：（1）載人飛船繞星球表面運動時，軌道半徑最小，周期最小，
由題意知，環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期T_最小=；
（2）設星球的質量為M，半徑是R，載人飛船質量是m，載人飛船繞星球表面做圓周運動，
軌道半徑等于星球半徑，載人飛船繞星球做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供，
由牛頓第二定律得：G=mR，
星球質量M=    ①，
星球的密度ρ===；
（3）單擺的周期T=2π，
則星球表面的重力加速度g=，
位于星球表面的物體m′受到的重力等于萬有引力，
即：m′g=G，則GM=gR² ②，
由①②得：R=   ③；
衛(wèi)星繞星球表面做圓周運動時，即軌道半徑等于星球半徑時的速度是第一宇宙速度，
萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G=m，
v=====g=×=；
答：（1）環(huán)繞該星球飛行的衛(wèi)星的最小周期是．
（2）該星球的密度是．
（3）該星球的第一宇宙速度是．
點評：衛(wèi)星繞行星表面做圓周運動的速度是第一宇宙速度，衛(wèi)星做圓周運動時，萬有引力提供向心力，解題時注意單擺周期公式的應用，注意黃金代換的應用．