Question

17．如圖，與水平面成37°傾斜軌道AB，其延長(zhǎng)線在C點(diǎn)與半圓軌道CD（軌道半徑R=1m）相切，全部軌道為絕緣材料制成且位于豎直面內(nèi)．整個(gè)空間存在水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MN的右側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的帶電小球沿斜面下滑，至B點(diǎn)時(shí)速度為v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接著沿直線BC（此處無(wú)軌道）運(yùn)動(dòng)到達(dá)C處進(jìn)入半圓軌道，進(jìn)入時(shí)無(wú)動(dòng)能損失，且剛好到達(dá)D點(diǎn)．（不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8）求：
（1）小球帶何種電荷．
（2）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功．
（3）設(shè)小球從D點(diǎn)飛出時(shí)磁場(chǎng)消失，求小球離開D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC的交點(diǎn)到C點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在只有電場(chǎng)的傾斜軌道上做勻加速運(yùn)動(dòng)后，進(jìn)入電場(chǎng)與磁場(chǎng)混合的場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、洛倫茲力與電場(chǎng)力處于平衡狀態(tài)，接著沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)剛好能達(dá)到D點(diǎn)，最后從D點(diǎn)做類平拋運(yùn)動(dòng)，此時(shí)所受到的合力正好與速度相互垂直．因此由電場(chǎng)力與電場(chǎng)強(qiáng)度方向可確定小球所帶電性．
（2）小球在BC間做勻速直線運(yùn)動(dòng)．根據(jù)平衡條件和洛倫茲力公式F=qv_CB求出qB．在D處，軌道對(duì)小球沒有作用力，由電場(chǎng)力與重力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律和向心力公式列式，可求得D點(diǎn)的速度．小球在半圓軌道上過程，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)定理可得克服摩擦力做功多少．
（3）小球離開D點(diǎn)后作類平拋運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，利用平拋運(yùn)動(dòng)分位移規(guī)律求解即可．

解答 解：（1）小球從B運(yùn)動(dòng)到C做直線運(yùn)動(dòng)，受力如圖，電場(chǎng)力方向與電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，則小球帶正電荷．
（2）依題意可知小球在BC間做勻速直線運(yùn)動(dòng)．在C點(diǎn)的速度為：
v_C=v_B=$\frac{100}{7}$m/s
在BC段其受力如圖所示，設(shè)重力和電場(chǎng)力合力為F．
  F=qv_CB  
又：F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N
解得：qB=$\frac{F}{{v}_{C}}$=$\frac{7}{20}$
在D處由牛頓第二定律可得：Bv_Dq+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
將qB=$\frac{7}{20}$代入上式并化簡(jiǎn)得：8${v}_{D}^{2}$-7v_D-100=0
解得：v_D=4m/s，v_D′=-$\frac{25}{8}$m/s（舍去）
小球在CD段克服摩擦力做功W_f，由動(dòng)能定理可得：
-W_f-2FR=$\frac{1}{2}m（{v}_{D}^{2}-{v}_{C}^{2}）$ 
解得：W_f=27.6J    
（3）小球離開D點(diǎn)后作類平拋運(yùn)動(dòng)，其加速度為：a=$\frac{F}{m}$   
由2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{4mR}{F}}$=0.4$\sqrt{2}$s
交點(diǎn)與C點(diǎn)的距離：s=v_Dt=2.26m
答：（1）小球帶正電荷．
（2）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功是27.6J．
（3）小球離開D點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡與直線AC的交點(diǎn)到C點(diǎn)的距離是2.26m．

點(diǎn)評(píng) 本題要通過分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，確定其受力情況．小球從D點(diǎn)飛出后，正好受到重力與電場(chǎng)力且這兩個(gè)力的合力與速度垂直，所以剛好做類平拋運(yùn)動(dòng)．因此可以將傾斜軌道等效看成水平面，相當(dāng)于小球做平拋運(yùn)動(dòng)，從而可以運(yùn)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律來(lái)處理．