Question

17．如圖，與水平面成37°傾斜軌道AB，其延長線在C點與半圓軌道CD（軌道半徑R=1m）相切，全部軌道為絕緣材料制成且位于豎直面內．整個空間存在水平向左的勻強電場，MN的右側存在垂直紙面向里的勻強磁場．一個質量為0.4kg的帶電小球沿斜面下滑，至B點時速度為v_B=$\frac{100}{7}$m/s，接著沿直線BC（此處無軌道）運動到達C處進入半圓軌道，進入時無動能損失，且剛好到達D點．（不計空氣阻力，g=10m/s²，cos37°=0.8）求：
（1）小球帶何種電荷．
（2）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功．
（3）設小球從D點飛出時磁場消失，求小球離開D點后的運動軌跡與直線AC的交點到C點的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在只有電場的傾斜軌道上做勻加速運動后，進入電場與磁場混合的場中做勻速直線運動，重力、洛倫茲力與電場力處于平衡狀態(tài)，接著沿半圓軌道運動剛好能達到D點，最后從D點做類平拋運動，此時所受到的合力正好與速度相互垂直．因此由電場力與電場強度方向可確定小球所帶電性．
（2）小球在BC間做勻速直線運動．根據平衡條件和洛倫茲力公式F=qv_CB求出qB．在D處，軌道對小球沒有作用力，由電場力與重力的合力充當向心力，由牛頓第二定律和向心力公式列式，可求得D點的速度．小球在半圓軌道上過程，運用運動定理可得克服摩擦力做功多少．
（3）小球離開D點后作類平拋運動，由牛頓第二定律求出加速度，利用平拋運動分位移規(guī)律求解即可．

解答 解：（1）小球從B運動到C做直線運動，受力如圖，電場力方向與電場強度方向相同，則小球帶正電荷．
（2）依題意可知小球在BC間做勻速直線運動．在C點的速度為：
v_C=v_B=$\frac{100}{7}$m/s
在BC段其受力如圖所示，設重力和電場力合力為F．
  F=qv_CB  
又：F=$\frac{mg}{cos37°}$=5N
解得：qB=$\frac{F}{{v}_{C}}$=$\frac{7}{20}$
在D處由牛頓第二定律可得：Bv_Dq+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
將qB=$\frac{7}{20}$代入上式并化簡得：8${v}_{D}^{2}$-7v_D-100=0
解得：v_D=4m/s，v_D′=-$\frac{25}{8}$m/s（舍去）
小球在CD段克服摩擦力做功W_f，由動能定理可得：
-W_f-2FR=$\frac{1}{2}m（{v}_{D}^{2}-{v}_{C}^{2}）$ 
解得：W_f=27.6J    
（3）小球離開D點后作類平拋運動，其加速度為：a=$\frac{F}{m}$   
由2R=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{4mR}{F}}$=0.4$\sqrt{2}$s
交點與C點的距離：s=v_Dt=2.26m
答：（1）小球帶正電荷．
（2）小球在半圓軌道部分克服摩擦力所做的功是27.6J．
（3）小球離開D點后的運動軌跡與直線AC的交點到C點的距離是2.26m．

點評 本題要通過分析小球的運動情況，確定其受力情況．小球從D點飛出后，正好受到重力與電場力且這兩個力的合力與速度垂直，所以剛好做類平拋運動．因此可以將傾斜軌道等效看成水平面，相當于小球做平拋運動，從而可以運用平拋運動規(guī)律來處理．