Question

如圖所示，兩個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球a和b，用質(zhì)量可忽略的剛性細(xì)桿相連，放置在一個(gè)光滑的半球面內(nèi)，已知小球a和b的質(zhì)量分別為

3

m、m．細(xì)桿長度是球面半徑的

2

倍．兩球處于平衡狀態(tài)時(shí)，下列說法正確的是（　�。�

• A．細(xì)桿與水平面的夾角θ=30°
• B．桿對(duì)a、b球作用力的方向不一定沿桿
• C．桿對(duì)a、b球的作用力的大小為

  6

  2

  mg
• D．半球面對(duì)a、b球的彈力之比為

  3

  3

Answer 1

分析：以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件求解細(xì)桿與水平面的夾角θ．由于桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，桿所受的小球的兩個(gè)作用力必定共線方向，則知桿對(duì)a、b球作用力的方向一定沿桿．根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求出桿對(duì)a、b球的作用力的大小．對(duì)整體研究，根據(jù)平衡條件求解半球面對(duì)a、b球的彈力之比．

解答：解：由題，細(xì)桿長度是球面半徑的

2

倍，由幾何知識(shí)得知，oa⊥ob，α=45°．
A、設(shè)球面半徑為r，以O(shè)為轉(zhuǎn)軸，對(duì)整體進(jìn)行研究，根據(jù)平衡條件得：m_agrcos（α+θ）=m_bgcos[90°-（α+θ）]，
又ma=

3

m，m_b=m
代入解得θ=15°．故A錯(cuò)誤．
B、由于桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，重力不計(jì)，則由平衡條件得知，桿所受的兩個(gè)小球的作用力必定共線方向，所以桿對(duì)a、b球作用力的方向一定沿桿．故B錯(cuò)誤．
C、由圖，根據(jù)幾何知識(shí)得β₂=60°，由數(shù)學(xué)知識(shí)得到：

mbg

sinα

=

T

sinβ2

，代入解得，T=

6

2

mg．故C正確．
D、兩球都受到重力、細(xì)桿的彈力和球面的彈力的作用，過O作豎直線交ab于c點(diǎn)，設(shè)球面的半徑為R，由幾何關(guān)系可得：

mag

OC

=

FNa

r

，

mbg

OC

=

FNb

r

解得：F_Na=

3

F_Nb； 故D錯(cuò)誤．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題也可用隔離法分析小球a、b的受力情況，根據(jù)正交分解法分別列平衡方程進(jìn)行求解，但是求解三角函數(shù)方程組時(shí)難度很大．故本題采用了水平向上由整體列平衡方程求解的方法．