Question

（23分）有一帶活塞的氣缸，如圖1所示。缸內(nèi)盛有一定質(zhì)量的氣體。缸內(nèi)還有一可隨軸轉(zhuǎn)動的葉片，轉(zhuǎn)軸伸到氣缸外，外界可使軸和葉片一起轉(zhuǎn)動，葉片和軸以及氣缸壁和活塞都是絕熱的，它們的熱容量都不計。軸穿過氣缸處不漏氣。

               圖1

    如果葉片和軸不轉(zhuǎn)動，而令活塞緩慢移動，則在這種過程中，由實驗測得，氣體的壓強和體積遵從以下的過程方程式               

                             

其中,均為常量, ＞1（其值已知）。可以由上式導出，在此過程中外界對氣體做的功為

                    

式中和,分別表示末態(tài)和初態(tài)的體積。

如果保持活塞固定不動，而使葉片以角速度做勻角速轉(zhuǎn)動，已知在這種過程中，氣體的壓強的改變量和經(jīng)過的時間遵從以                  

         圖2

下的關(guān)系式

     

式中為氣體的體積，表示氣體對葉片阻力的力矩的大小。                   

上面并沒有說氣體是理想氣體，現(xiàn)要求你不用理想氣體的狀態(tài)方程和理想氣體的內(nèi)能只與溫度有關(guān)的知識，求出圖2中氣體原來所處的狀態(tài)與另一已知狀態(tài)之間的內(nèi)能之差（結(jié)果要用狀態(tài)、的壓強、和體積、及常量表示）

Answer 1

參考解答：

由         

，             （1）

可知，當V增大時，p將隨之減小（當V減小時，p將隨之增大），在圖上所對應的曲線（過狀態(tài)A）大致如圖所示．在曲線上取體積與狀態(tài)B的體積相同的狀態(tài)C．

現(xiàn)在設(shè)想氣體從狀態(tài)A出發(fā)，保持葉片不動，而令活塞緩慢地向右移動，使氣體膨脹，由狀態(tài)A到達狀態(tài)C，在此過程中，外界對氣體做功

               （2）

用U_A、U_C分別表示氣體處于狀態(tài)A、C時的內(nèi)能，因為是絕熱過程，所以內(nèi)能的增量等于外界對氣體做的功，即

               （3）

再設(shè)想氣體處于狀態(tài)C時，保持其體積不變，即保持活塞不動，令葉片以角速度ω 做勻速轉(zhuǎn)動，這樣葉片就要克服氣體阻力而做功，因為缸壁及活塞都是絕熱的，題設(shè)缸內(nèi)其它物體熱容量不計，活塞又不動（即活塞不做功），所以此功完全用來增加氣體的內(nèi)能．因為氣體體積不變，所以它的溫度和壓強都會升高，最后令它到達狀態(tài)B．在這過程中葉片轉(zhuǎn)動的時間用Δt表示，則在氣體的狀態(tài)從C到B的過程中，葉片克服氣體阻力做功

               （4）

令U_B表示氣體處于狀態(tài)B時的內(nèi)能，由熱力學第一定律得

               （5）

由題知

               （6）

由（4）、（5）、（6）式得

               （7）

（7）式加（3）式，得

               （8）

利用和得

               （9）

評分標準：

本題23分．