Question

11．如圖所示，在水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ，電阻忽略不計，導軌間距離為L，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌所在平面，質量均為m的兩根金屬桿a、b放在導軌上，a、b桿接入電路的電阻均為r，輕質彈簧的左端與b桿連接，右端固定，開始時a桿以初速度v₀向左運動，b桿靜止，彈簧處于原長狀態(tài)，當a桿向左的速度為v時，b桿向左的速度達到最大值v_m，此過程中a桿上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，兩根始終垂直于導軌并與導軌接觸良好，求：
（1）b桿速度最大時，彈簧的彈力大�。�
（2）b桿速度最大時，彈簧的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）由兩棒速度求得電動勢，進而求得速度，安培力，再通過受力平衡求得彈簧彈力；
（2）將彈簧、a桿、b桿當成一個整體，然后利用能量守恒即可求得彈性勢能．

解答 解：a桿向左運動，安培力向右，桿做減速運動，電流減小；
b桿受安培力和彈簧彈力作用，安培力向左且不斷減��；彈簧彈力開始為零，桿向左做加速運動，彈簧彈力增大，直到彈簧彈力等于安培力時速度達到最大值，之后桿做減速運動；
（1）b桿速度最大時，a桿向左的速度為v，b桿向左的速度為v_m，所以，閉合電路電動勢E=BL（v-v_m），電路中電流$I=\frac{E}{2r}=\frac{BL（v-{v}_{m}）}{2r}$，
所以，b桿受到的安培力${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$，
由受力平衡可得彈簧彈力$F={F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）由于a桿，b桿串聯(lián)，通過兩桿的電流相等，又有電阻相等，所以，兩桿的電功率相同，所以，a桿上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，b桿上產(chǎn)生的焦耳熱也為Q；
將彈簧、a桿、b桿當成一個整體，對開始到b桿速度達到最大值的過程應用能量守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}+2Q+{E}_{P}$，
所以，${E}_{P}=\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$；
答：（1）b桿速度最大時，彈簧的彈力大小為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}（v-{v}_{m}）}{2r}$；
（2）b桿速度最大時，彈簧的彈性勢能E_p為$\frac{1}{2}m（{{v}_{0}}^{2}-{v}^{2}-{{v}_{m}}^{2}）-2Q$．

點評 在閉合電路切割磁感線的問題中，一般由速度或磁通量的變化求得電動勢，然后由歐姆定律求得電流，進而得到安培力；亦或通過動能定理、能量守恒求得發(fā)熱量．