Question

如圖所示，半徑為R的四分之一圓弧形支架豎直放置，圓弧邊緣C處有一小定滑輪，繩子不可伸長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦，開始時(shí)，m₁、m₂兩球靜止，且m₁＞m₂，試求：
（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點(diǎn)A時(shí)的速度．
（2）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿足什么關(guān)系．
（3）若A點(diǎn)離地高度為2R，m₁滑到A點(diǎn)時(shí)繩子突然斷開，則m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)的水平距離是多少？

Answer 1

分析：（1）兩個(gè)滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)只有重力勢(shì)能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，機(jī)械能守恒；同時(shí)繩子不可伸長(zhǎng)，沿著繩子方向的分速度相等；
（2）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，則要求其速度大于零即可；
（3）繩子斷開后，m₁落地落地前做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解．

解答：解：（1）設(shè)m₁滑至A點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，此時(shí)m₂的速度為v₂，由機(jī)械能守恒得：
m₁gR-

2

m₂gR=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
又v₂=v₁cos45°
得：v1=

4m1gR-4 2 m2gR 2m1+m2

．
（2）要使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，v₁≥0且v₂≥0，
必有：m₁gR-

2

m₂gR≥0，得：m₁≥

2

m₂．
（3）由2R=

1

2

gt²，x=v₁t得x=v1t=4R

m1- 2 m2 2m1+m2

答：（1）m₁釋放后沿圓弧滑至最低點(diǎn)A時(shí)的速度v1=

4m1gR-4 2 m2gR 2m1+m2

．
（2）為使m₁能到達(dá)A點(diǎn)，m₁與m₂之間必須滿足什么關(guān)系m₁≥

2

m₂．
（3）若A點(diǎn)離地高度為2R，m₁滑到A點(diǎn)時(shí)繩子突然斷開，則m₁落地點(diǎn)離A點(diǎn)的水平距離是x=4R

m1- 2 m2 2m1+m2

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是單個(gè)物體機(jī)械能不守恒，但兩個(gè)物體系統(tǒng)機(jī)械能守恒；同時(shí)要明確通過繩子、輕桿連接的物體，沿著繩子、桿子方向的分速度一定相等．