Question

如圖甲所示，質(zhì)量分別為m=1kg，M=2kg的A、B兩個(gè)小物塊用輕彈簧相連而靜止在光滑水平面上，在A的左側(cè)某處另有一個(gè)質(zhì)量也為m=1kg的小物塊C以V₀=4m/s的速度正對(duì)A向右勻速運(yùn)動(dòng)，一旦與A接觸就將粘合在一起運(yùn)動(dòng)，若在C與A接觸前，使A獲得一初速度V_A0，并從此時(shí)刻開(kāi)始計(jì)時(shí)，向右為正方向，其速度隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示（C與A未接觸前），彈簧始終未超過(guò)彈簧性限度．
（1）在C與A接觸前，當(dāng)A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時(shí)，求對(duì)應(yīng)狀態(tài)下B的速度，并在此基礎(chǔ)上在圖乙中粗略畫出B的速度隨時(shí)間變化圖象；
（2）若C在A的速度為V_A時(shí)與A接觸，在接觸后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的最大值為E_p，求E_P的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）C與A接觸前，A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律得到B速度的表達(dá)式，再代入數(shù)據(jù)求出B的速度，畫出圖象．
（2）無(wú)論C與A如何接觸，當(dāng)A、B、C具有相同速度u時(shí)彈性勢(shì)能最大．根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出u．再研究A、B碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒求出碰撞損失的機(jī)械能．由三個(gè)物體的系統(tǒng)機(jī)械能守恒得到彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式E_p表達(dá)式，分析得到范圍．

解答：解：（1）由動(dòng)量守恒定律 mV_A0=mV_A+MV_B   ①
得  

V

B

=

m

M

(VA0-VA)
代入數(shù)據(jù)得 B與A對(duì)應(yīng)的速度為0，2m/s，4m/s 
描繪圖象如圖示
（2）無(wú)論C與A如何接觸，當(dāng)A、B、C具有相同速度u時(shí)彈性勢(shì)能最大，
 由動(dòng)量守恒定律  mV₀+mV_A0=（2m+M）u    ②
   u=

mV0+mVA0

2m+M

=2.5m/s
設(shè)C與A碰撞前后A的瞬時(shí)速度分別為V_A、V，碰撞過(guò)程缺失機(jī)械能為△E，則
   mV₀+mV_A=2mV  ③
  △E=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A

-

1

2

×2mV2  ④
設(shè)最大的彈性勢(shì)能為E_p，則 Ep=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A0

-

1

2

(2m+M)u2-△E  ⑤
聯(lián)立②～⑤解得 EP=

1

2

m

V

2 0

+

1

2

m

V

2 A0

-

1

2

(2m+M)u2-

1

4

m(V0-VA)2  ⑥
可見(jiàn)V_A=V₀時(shí)，C與A接觸而粘在一起，不損失機(jī)械能，△E=0，E_P有最大值E_Pm．代入⑥式得
  EPm=

1

2

×1×42+

1

2

×1×62-

1

2

×(2×1+2)×2.52-0=13.5J
當(dāng)V_A反向最大時(shí)，△E最大，E_P有最小值E_Pmin．
由第（1）問(wèn)知，當(dāng)V_A=-2m/s時(shí)，B的速度V_B=4m/s，這時(shí)A、B的總動(dòng)能 EKAB=

1

2

m

V

2 A

+

1

2

M

V

2 B

=18J
A剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A、B和彈簧組成系統(tǒng)的總能量 EK=

1

2

m

V

2 A0

=18J
可見(jiàn)C與A碰撞前，A的反向最大速度不會(huì)超過(guò)2m/s，代入⑥得
  EPm=

1

2

×1×42+

1

2

×1×62-

1

2

×(2×1+2)×2.52-

1

4

×2×(4+2)2=4.5J
所以彈簧彈性勢(shì)能最大值的變化范圍是 13.5J≥E_P≥4.5J    
答：
（1）在C與A接觸前，當(dāng)A的速度分別為6m/s、2m/s、-2m/s時(shí)，對(duì)應(yīng)狀態(tài)下B的速度分別為，0，2m/s，4m/s．B的速度隨時(shí)間變化圖象如答圖所示．
（2）E_P的變化范圍為 13.5J≥E_P≥4.5J．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于這類彈簧問(wèn)題注意用動(dòng)態(tài)思想認(rèn)真分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，注意過(guò)程中的功能轉(zhuǎn)化關(guān)系；解答時(shí)注意動(dòng)量守恒和能量守恒列式分析求解．