Question

17．如圖所示，傾角為θ的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定擋板C，勁度系數為k₁的輕彈簧兩端分別與質量均為m的物體A和B連接，勁度系數為k₂的輕彈簧一端與A連接，另一端通過一根輕繩與一輕質小桶P相連，跨過光滑的定滑輪Q放在斜面上，B靠在擋板C處，A和B均靜止．現緩慢地向小桶P內加入細砂，當B與擋板C間擠壓力恰好為零時，
求：（1）小桶P內所加入的細砂質量；
（2）小桶下降的距離．

Answer 1

分析 未向小桶內加入細沙時，彈簧k₁受到的壓力大小等于A的重力沿斜面向下的分力，根據胡克定律求出此時該彈簧的壓縮量．當B與擋板C間擠壓力恰好為零時，彈簧k₁受到的拉力等于B重力沿斜面向下的分力，彈簧k₂受到的拉力等于兩個物體的總重力沿斜面向下的分力，根據胡克定律求出此時兩彈簧的伸長量，再由幾何關系求出小桶下降的距離．

解答 解：（1）當B與擋板C間擠壓力恰好為零時，以A、B兩個物體整體為研究對象，根據平衡條件得知，輕繩的拉力大小為T=2mgsinθ，
對小桶：T=m_砂g，故小桶P內加入的細砂質量為m_砂=2msinθ； 
（2）未向小桶內加入細沙時，彈簧k₁的壓縮量為x₁=$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$
彈簧k₂處于原長狀態(tài)；
緩慢地向小桶P內加入細砂，當B與擋板C間擠壓力恰好為零時，彈簧k₁的伸長量為x₁′=$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$
彈簧k₂的伸長量為x₂′=$\frac{2mgsinθ}{{k}_{2}}$
根據幾何關系得知，小桶下降的距離為 S=x₁+x₁′+x₂′=$\frac{2mgsinθ}{{k}_{2}}$+2$\frac{mgsinθ}{{k}_{1}}$=$\frac{2mgsinθ（{k}_{1}+{k}_{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}$
答：（1）小桶P內所加入的細砂質量2msinθ；
（2）小桶下降的距離離為為 $\frac{2mgsinθ（{k}_{1}+{k}_{2}）}{{k}_{1}{k}_{2}}$．

點評 對于彈簧問題，要分析初、末兩個狀態(tài)彈簧的變形量，再由幾何關系求解小桶下降的距離，是經常采用的思路．