Question

16．如圖所示，一個(gè)斜面與豎直方向的夾角為30°，斜面的下端與第一個(gè)光滑圓形管道相切，第二個(gè)光滑圓形管道與第一個(gè)圓形管道也相切．兩個(gè)光滑圓形管道粗細(xì)不計(jì)．其半徑均為R，小物塊可以看作質(zhì)點(diǎn)．小物塊與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．物塊由靜止從某一高度沿斜面下滑，至圓形管道的最低點(diǎn)A時(shí)，對軌道的壓力是重力的7倍．求：
（1）物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）物塊到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，對管道壓力的大小與方向；
（3）物塊在斜面上滑動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）物塊經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出速度．
（2）由機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合求解．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出第一個(gè)光滑圓形管道左邊管口與A點(diǎn)間所對應(yīng)的圓心角，由機(jī)械能守恒求出物塊剛進(jìn)入此管時(shí)的速度，由牛頓第二定律得到物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的加速度，即可由v=at求時(shí)間．

解答 解：（1）在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
又 N=7mg
解得 v_A=$\sqrt{6gR}$
（2）從A到B，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$+2mgR
設(shè)物塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，軌道對其的作用力大小為F，方向向下．則
  mg+F=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 F=mg，因?yàn)?F＞0，則假設(shè)正確，即軌道對物塊的作用力向下，由牛頓第三定律知物塊到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，對管道壓力的大小為mg，方向向上．
（3）根據(jù)幾何關(guān)系可得：第一個(gè)光滑圓形管道左邊管口與A點(diǎn)間所對應(yīng)的圓心角為60°
從左管口到A，由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{5gR}$
物塊在斜面上下滑時(shí)的加速度為 a=$\frac{mgcosθ-μmgsinθ}{m}$=$\frac{（\sqrt{3}-μ）g}{2}$
由v₀=at得：t=$\frac{2}{\sqrt{3}-μ}$$\sqrt{\frac{5R}{g}}$
答：
（1）物塊到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）物塊到達(dá)最高點(diǎn)B時(shí)，對管道壓力的大小為mg，方向向上；
（3）物塊在斜面上滑動(dòng)的時(shí)間是$\frac{2}{\sqrt{3}-μ}$$\sqrt{\frac{5R}{g}}$．

點(diǎn)評 本題為多過程問題，要注意正確分析物理過程，做好受力分析，確定出圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來源，選擇正確的物理規(guī)律求解．