Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一粒子源位于圓周上的M點(diǎn)，可向磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)垂直磁場(chǎng)沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子，不計(jì)粒子重力，N為圓周上另一點(diǎn)，半徑OM和ON間的夾角為θ，且滿足。

(1)若某一粒子以速率v1沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求此粒子的速率v1；

(2)若某一粒子以速率v2＝沿與MO成70°角斜向上方射入磁場(chǎng)，求此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

(3)若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為v3＝，求磁場(chǎng)中有粒子通過的區(qū)域面積。（計(jì)算結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系求得其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出入射速度v1；

（2）某一粒子以速率，沿與MO成70°角斜向上方向射入磁場(chǎng)，由半徑公式知，該粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域的半徑，由幾何關(guān)系知道，該粒子的軌跡和偏轉(zhuǎn)角均能求出，從而求出該粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

（3）若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場(chǎng)中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓。試著畫出極端情況下粒子能達(dá)到的區(qū)域，從而把粒子能到達(dá)的整個(gè)區(qū)域面積求出來。

（1）如圖所示，由幾何關(guān)系可知，，解得：

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：，解得：

（2）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，設(shè)軌跡半徑為

洛倫茲力提供向心力：，得，其中，解得：

粒子沿與與MO成70°方向進(jìn)入磁場(chǎng)，設(shè)粒子從區(qū)域邊界P射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由圖中幾何關(guān)系可知粒子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為α=160°

粒子運(yùn)動(dòng)周期：

則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：

（3）粒子沿各個(gè)方向以進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周時(shí)的軌跡半徑都為，且不變，如圖所示

由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中通過的面積等于以為圓心的扇形的面積、以M為圓心的扇形的面積和以O點(diǎn)為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積之和。

，，

所以：