Question

11．自從人類揭開了火星的神秘面紗之后，土星也成了世界關(guān)注的焦點(diǎn)．經(jīng)過近7年時(shí)間，在太空中風(fēng)塵仆仆地穿行2億千米后，美航天局和歐洲航天局合作研究出的“卡西尼”號土星探測器于美國東部時(shí)間2012年6月30日（北京時(shí)間7月1日）抵達(dá)預(yù)定軌道，開始“拜訪”土星及其衛(wèi)星家族．這是人類首次針對土星及其31顆已知衛(wèi)星最詳盡的探測．若“卡西尼”號土星探測器進(jìn)入土星飛行的軌道，在半徑為R的土星上空離土星表面高h(yuǎn)的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時(shí)間為t．求土星的質(zhì)量和平均密度．

Answer 1

分析 探測器繞土星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，即：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，即可求得土星質(zhì)量及其密度．

解答 解：設(shè)土星的質(zhì)量為M，萬有引力提供向心力，
即：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
$T=\frac{t}{n}$
解得：$M=\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
土星的平均密度：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3π（R+h）^{3}}{G{T}^{2}{R}^{3}}$=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{t}^{2}}$
答：土星的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
平均密度為$\frac{3{πn}^{2}（R+h）^{3}}{G{R}^{3}{t}^{2}}$

點(diǎn)評 本題要掌握天體運(yùn)動的兩個重要關(guān)系：萬有引力提供向心力，在星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．同時(shí)能夠根據(jù)題目的要求選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式是解題的關(guān)鍵．