Question

15．如圖所示，在xOy平面內(nèi)，第二象限中有勻強(qiáng)電場，方向沿y軸正方向，在第四象限有勻強(qiáng)磁場，方向垂直于xOy平面問外．今有一個(gè)質(zhì)量為m，電量為e的電子（不計(jì)重力），從y軸上的P（0，L）點(diǎn)以垂直于y軸、大小為v₀的初速度射入電場，經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后從x軸上的Q（-2L，0）點(diǎn)進(jìn)入磁場，并能返回到出發(fā)點(diǎn)P．求：
（1）電場強(qiáng)度的大��；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（3）若電場和磁場均不變，要使電子在磁場中經(jīng)歷一段圓弧后從O點(diǎn)射出磁場，則電子仍從P點(diǎn)垂直于y軸射入電場時(shí)的初速度應(yīng)為多大？

Answer 1

分析 （1）電子在電場做做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與動(dòng)能定理求出h；
（2）電子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出B；
（3）求出電子在電場、磁場、第二象限中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出電子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1） 電子射入電場后做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：
L=$\frac{1}{2}•\frac{eE}{m}{t}^{2}$
水平方向有：
2L=v₀t
聯(lián)立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$
（2）電子進(jìn)入磁場時(shí)的豎直分速度為：v_y=$\frac{eE}{m}t$=v₀；
所以進(jìn)入磁場時(shí)的合速度為：v_Q=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向與x軸負(fù)方向成45°角（如圖）．
電子離開磁場后沿直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)P點(diǎn)，所以其軌跡如圖所示，由幾何知識知，電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}L$
由ev_QB=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{r}$
可得 B=$\frac{2m{v}_{0}}{3eL}$
（3）當(dāng)電子以速度v_Q′進(jìn)入磁場時(shí)速度與x軸負(fù)向間的夾角設(shè)為θ，則
  v_Q′=$\frac{{v}_{y}}{sinθ}$=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$
電子運(yùn)動(dòng)半徑為r′，則有 ev_Q′B=m$\frac{v{′}_{Q}^{2}}{r}$
射入點(diǎn)與射出點(diǎn)的距離 d=2r′•sinθ
由以上各式得：d=3L
可見射入磁場的點(diǎn)和射出磁場的點(diǎn)之間的距離 d與初速度大小無關(guān)，所以要使電子經(jīng)過O點(diǎn)，射入磁場的點(diǎn)距O點(diǎn)的距離應(yīng)為 d=3L，故其初速度應(yīng)為
  v′₀=$\frac{3L}{t}$=3L$•\frac{{v}_{0}}{2L}$=$\frac{3}{2}{v}_{0}$
答：（1）電場強(qiáng)度的大小是$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2eL}$；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小是$\frac{2m{v}_{0}}{3eL}$；
（3）電子仍從P點(diǎn)垂直于y軸射入電場時(shí)的初速度應(yīng)為$\frac{3}{2}{v}_{0}$．

點(diǎn)評 電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法是運(yùn)動(dòng)的分解，而磁場中圓周運(yùn)動(dòng)的研究方法是畫軌跡，都常用的思路．