Question

12．如圖1所示，光滑水平面上的A物體以初速度v₀去撞擊靜止的B物體，B物體上固定一質量不計的輕質彈簧．已知A物體的質量為m₁，B物體的質量為m₂．A物體在O點處開始壓縮彈簧，此時刻設為0時刻，從開始壓縮彈簧到將彈簧壓縮至最短所用時間是t₁，從彈簧最短到彈簧恢復到原長所用時間是t₂．A、B始終沿同一直線運動．
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（1）請在圖2中畫出彈簧彈力F隨時間t變化的示意圖，并求A物體在0～t₁時間內所受到的合沖量．
（2）求彈簧被壓縮到最短時所具有的彈性勢能；
（3）若彈簧恢復原長時，A、B物體的動量恰好相等，求$\frac{m_1}{m_2}$．

Answer 1

分析 （1）分析AB與彈簧接觸時的運動情況以及彈簧長度變化情況，從而畫出圖象，根據動量守恒定律求出t₁時刻AB的共同速度，再根據動量定理求解A物體所受合外力的沖量；
（2）根據能量守恒定律求出彈簧被壓縮到最短時所具有的彈性勢能；
（3）根據總動量守恒以及動量與動能的關系列式求解即可．

解答 解：（1）彈簧剛開始處于原長，彈力為零，A壓縮彈簧時，A做減速運動，B做加速運動，彈簧彈力增大，AB速度差值越來越小，則彈力隨時間變化越來越慢，當AB速度相等時，彈力最大，此后B的速度大于A的速度，彈力開始減小，F-t圖象如圖所示：

根據動量守恒定律，選向右為正方向，則有：
m₁v₀=（m₁+m₂）V
解得：$V=\frac{{{m_1}{v_0}}}{{{m_1}+{m_2}}}$
根據動量定理得：I₁=m₁V-m₁v₀
解得：${I_1}=-\frac{{{m_1}{m_2}{v_0}}}{{{m_1}+{m_2}}}$
（2）根據能量守恒定律得：$\frac{1}{2}mv_0^2={E_P}+\frac{1}{2}（{m_1}+{m_2}）{V^2}$
解得：${E_p}=\frac{{{m_1}{m_2}v_0^2}}{{2（{m_1}+{m_2}）}}$
（3）由于總動量守恒，則P_總=2P，
而P²=2mE_K
則有$\frac{{4{p^2}}}{{2{m_1}}}$=$\frac{p^2}{{2{m_1}}}+\frac{p^2}{{2{m_2}}}$
解得：$\frac{m_1}{m_2}$=3
答：（1）彈簧彈力F隨時間t變化的示意圖，如圖所示，A物體在0～t₁時間內所受到的合沖量為$-\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$；
（2）彈簧被壓縮到最短時所具有的彈性勢能為$\frac{{m}_{1}{m}_{2}{v}_{0}^{2}}{2（{m}_{1}+{m}_{2}）}$；
（3）若彈簧恢復原長時，A、B物體的動量恰好相等，則$\frac{m_1}{m_2}$等于3．

點評 本題考查了動量守恒定律的應用，分析清楚物體運動過程，應用動量守恒定律與機械能守恒定律即可正確解題，注意使用動量守恒定律時要規(guī)定正方向，難度適中．