Question

（2011?北京）靜電場方向平行于x軸，其電勢φ隨x的分布可簡化為如圖所示的折線，圖中φ₀和d為已知量．一個帶負(fù)電的粒子在電場中以x=0為中心，沿x軸方向做周期性運(yùn)動．已知該粒子質(zhì)量為m、電量為-q，其動能與電勢能之和為-A（0＜A＜qφ₀）．忽略重力．求：
（1）粒子所受電場力的大�。�
（2）粒子的運(yùn)動區(qū)間；
（3）粒子的運(yùn)動周期．

Answer 1

分析：（1）由圖可知，電勢隨x均勻變化，則可知電場為勻強(qiáng)電場，由電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系可求得電場強(qiáng)度，即可求得電場力；
（2）由題意可知，動能與電勢能之和保持不變，設(shè)出運(yùn)動區(qū)間為[-x，x]，由題意可知x處的電勢，則由數(shù)學(xué)關(guān)系可求得x值；
（3）粒子在區(qū)間內(nèi)做周期性變化，且從最遠(yuǎn)點(diǎn)到O點(diǎn)時做勻變速直線運(yùn)動，則由運(yùn)動學(xué)規(guī)律可求得周期．

解答：解：（1）由圖可知，0與d（或-d）兩點(diǎn)間的電勢差為φ₀
電場強(qiáng)度的大小    E=

φ0

d

電場力的大小      F=qE=

qφ0

d

．
（2）設(shè)粒子在[-x，x]區(qū)間內(nèi)運(yùn)動，速率為v，由題意得

1

2

mv2-qφ=-A
由圖可知          φ=φ0(1-

|x|

d

)
由①②得          

1

2

mv2=qφ0(1-

|x|

d

)-A
因動能非負(fù)，有    qφ0(1-

|x|

d

)-A≥0
得                |x|≤d(1-

A

qφ0

)
即                 x =d(1-

A

qφ0

)
粒子運(yùn)動區(qū)間-d(1-

A

qφ0

)≤x≤d(1-

A

qφ0

)．
（3）考慮粒子從-x₀處開始運(yùn)動的四分之一周期
根據(jù)牛頓第二定律，粒子的加速度   a=

F

m

=

Eq

m

=

qφ0

md

由勻加速直線運(yùn)動      t=

2x0 a

將④⑤代入，得        t=

2md2 qφ0 (1- A qφ0 )

粒子運(yùn)動周期          T=4t=

4d

qφ0

2m(qφ0-A)

．

點(diǎn)評：本題難度較大，要求學(xué)生能從題干中找出可用的信息，同時能從圖象中判斷出電場的性質(zhì)；并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)知識求解，故對學(xué)生的要求較高．