Question

19．如圖所示，質量分布均勻、半徑為R的光滑半圓性金屬槽，靜止在光滑的水平面上，左邊緊靠豎直墻壁．質量為m的小球從距金屬槽上端R處由靜止下落，恰好與金屬槽左端相切進入槽內，到達最低點后向右運動從金屬槽的右端沖出，小球到達最高點時距金屬槽圓弧最上端的距離為$\frac{3}{4}$R，重力加速度為g，不計空氣阻力．則下列說法正確的是（　�。�

• A． 小球第一次到達最低點時對金屬槽的壓力大小為4mg
• B． 小球剛從金屬槽口右端飛出時二者水平速度相同
• C． 小球剛從金屬槽右端拋出時小球的速度為$\frac{\sqrt{6Rg}}{2}$
• D． 小球和金屬槽質量之比為1：7

Answer 1

分析 根據機械能守恒求得小球在最低點的速度，進而由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律得到壓力；根據速度的合成得到兩者水平速度相等，然后由勻變速運動規(guī)律求得小球豎直分速度，再根據能量守恒及水平方向動量守恒求得水平速度及質量比．

解答 解：A、小球下落到最低點的過程中，在水平方向上金屬槽受到小球的作用力向左，故金屬槽保持靜止不動；小球運動過程只有重力做功，故機械能守恒，即有$2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，${v}_{1}=2\sqrt{gR}$；
所以，對小球在最低點應用牛頓第二定律可得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{R}=5mg$，故由牛頓第三定律可得：小球第一次到達最低點時對金屬槽的壓力大小N=F_N=5mg，故A錯誤；
B、小球沖出金屬槽，小球相對金屬槽的速度豎直向上，故小球剛從金屬槽口右端飛出時二者水平速度相同，故B正確；
CD、小球剛從金屬槽口右端飛出時二者水平速度相同，故小球沖出金屬槽后先對金屬槽做豎直上拋運動，又有小球到達最高點時距金屬槽圓弧最上端的距離為$\frac{3}{4}$R，所以，小球沖出金屬槽時的豎直分速度${v}_{y}=\sqrt{2g×\frac{3}{4}R}=\sqrt{\frac{3}{2}gR}$；
小球從金屬槽最低點運動到最右端的過程中，小球和金屬槽在水平方向上合外力為零，故動量守恒，則有：mv₁=（m+M）v_x；
又有小球和金屬槽在運動過程中只有重力做功，故機械能守恒，即$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{x}}^{2}+\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}+mgR$；
所以，${v}_{x}=\sqrt{\frac{m}{m+M}（{{v}_{1}}^{2}-{{v}_{y}}^{2}）-\frac{2m}{m+M}gR}=\sqrt{\frac{m}{m+M}×\frac{1}{2}gR}$，所以，$\frac{m}{m+M}×\frac{1}{2}gR=（\frac{m}{m+M}{v}_{1}）^{2}=\frac{m}{m+M}×\frac{m}{m+M}4gR$，所以，$\frac{m}{m+M}=\frac{1}{8}$；
故$\frac{m}{M}=\frac{1}{7}$，${v}_{x}=\frac{1}{4}\sqrt{gR}$，那么，小球剛從金屬槽右端拋出時小球的速度$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}$=$\frac{5}{4}\sqrt{gR}$，故C錯誤，D正確；
故選：BD．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．