Question

在地面上方足夠高的地方，存在一個高度d=0.3m的“相互作用區(qū)域”（如圖中劃有虛線的部分）．一個小圓環(huán)A套在一根均勻直桿B上，A和B的質(zhì)量均為m，若它們之間發(fā)生相對滑動時，會產(chǎn)生f=0.5mg的摩擦力．開始時A處于B的最下端，B豎直放置，A距“相互作用區(qū)域”的高度h=0.2m．讓A和B一起從靜止開始下落，只要A處于“相互作用區(qū)域”就會受到豎直向上的恒力F作用（F=2mg），而“相互作用區(qū)域”對處于其中的桿B不產(chǎn)生作用力．設(shè)桿B在下落過程中始終保持豎直，且桿的長度能夠保證圓環(huán)A與桿不會分離．不計空氣阻力，取g=10m/s²．求：
（1）桿B剛進人“相互作用區(qū)域”時的速度．
（2）圓環(huán)A通過“相互作用區(qū)域”所用的時間．
（3）A剛離開“相互作用區(qū)域”時，圓環(huán)A和直桿B的速度．
（4）假如直桿B著地時，A和B的速度剛好達到相同，這一速度是多少？

Answer 1

分析：（1）A和B一起靜止下落至“相互作用區(qū)域”的過程，重力做功2mgh，根據(jù)動能定理有：2mgh=

1

2

?2m

v

2 1

，可求得桿B剛進人“相互作用區(qū)域”時的速度v₁．
（2）A在“相互作用區(qū)域”運動時，受到豎直向下的重力mg、滑動摩擦力f和豎直向上的恒力F作用．根據(jù)牛頓第二定律求出其加速度a_A1，由運動學(xué)公式d=

v 2 A - v 2 0

2 a   A1

和v_A=v₀+a_A1t₁，求出圓環(huán)A通過“相互作用區(qū)域”所用的時間．
（3）在“相互作用區(qū)域”運動時，B受到豎直向下的重力mg和豎直向上的滑動摩擦力f的作用，由牛頓第二定律求得B的加速度，由速度公式求出B離開“相互作用區(qū)域”時的速度，根據(jù)AB速度的大小，分析兩物體的受力情況，確定摩擦力的方向，再由牛頓第二定律和運動學(xué)結(jié)合求解共同速度．

解答：解：（1）設(shè)A和B一起靜止下落至“相互作用區(qū)域”的速度為v₁，根據(jù)動能定理有
    2mgh=

1

2

?2m

v

2 1

，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=2.0m/s 
（2）過程1：A在“相互作用區(qū)域”運動時，取方向向下為正方向，此過程中A受到豎直向下的重力mg、滑動摩擦力f和豎直向上的恒力F作用．
設(shè)加速度a_A1、末速度為v_A、運動時間為t₁，根據(jù)牛頓第二定律有：
a_A1=

mg+f-F

m

=-

1

2

g
根據(jù)運動學(xué)公式有：v_A=v₀+a_A1t₁，d=

v 2 A - v 2 0

2 a   A1

代入數(shù)據(jù)解出：t₁=0.2s   t₂=0.6s（不符題意，舍去）
（3）A離開“相互作用區(qū)域”時的速度為 v_A=v₀+a_A1t₁=1m/s  
B受到豎直向下的重力mg和豎直向上的滑動摩擦力f的作用
同理有：a_B1=

mg-f

m

=

1

2

g
v_B=v₀+a_B1t₁ 代入數(shù)據(jù)：v_B=3m/s
（4）過程2：A離開“相到作用區(qū)域”后，因為v_A＜v_B，所以A受到豎直向下的重力mg和滑動摩擦力f的作用，B受到豎直向下重力mg和豎直向上的滑動摩擦力f的作用．
設(shè)加速度分別為a_A2、a_B2，共同速度為v，運動時間為t₂
則有：a_A2=

mg+f

m

=

3

2

g，a_B2=

mg-f

m

=

1

2

g
又v=v_A+a_A2t₂，v=v_B+a_B2t₂
由上述四式代入數(shù)據(jù)解得：v=4m/s 
答：
（1）桿B剛進人“相互作用區(qū)域”時的速度是2m/s．
（2）圓環(huán)A通過“相互作用區(qū)域”所用的時間是0.2m/s．
（3）A剛離開“相互作用區(qū)域”時，圓環(huán)A和直桿B的速度分別是1m/s和3m/s．
（4）假如直桿B著地時，A和B的速度剛好達到相同，這一速度是4m/s．

點評：本題首先要根據(jù)兩物體的受力情況，分析運動情況，其次運用牛頓第二定律、運動學(xué)公式解決勻變速直線運動，要注意尋找兩物體之間的關(guān)系，比如速度相同，運動的同時性等．