Question

7．如圖所示，兩足夠長(zhǎng)電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ相距L=1m，導(dǎo)軌平面與水平面夾角α=37°，導(dǎo)軌空間內(nèi)存在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量m=0.1kg、電阻為r=8Ω，兩金屬導(dǎo)軌的上端連接右端電路，定值電阻R₁=12Ω，R₂=6Ω，開關(guān)S未閉合，已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．試求：
（1）若磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化滿足B=2t+1（T），金屬棒由距導(dǎo)軌頂部1m處釋放，求至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間釋放，會(huì)獲得沿斜面向上的加速度．
（2）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為B₁=2T，現(xiàn)對(duì)金屬棒施加一個(gè)平行于導(dǎo)軌沿斜面向下的外力F，是金屬棒沿導(dǎo)軌向下做加速度為a=10m/s²的勻速直線運(yùn)動(dòng)，外力F與時(shí)間t應(yīng)滿足什么樣的關(guān)系．
（3）若勻強(qiáng)磁場(chǎng)大小為B₁=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$T，現(xiàn)將金屬棒從頂部靜止釋放并閉合開關(guān)S，棒剛好達(dá)到最大速度之時(shí)，R₂上已產(chǎn)生的總熱量為Q_R2=$\frac{16}{45}$J，則此過(guò)程金屬棒下滑的距離為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)閉合電路的歐姆定律求解感應(yīng)電流，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件求解時(shí)間；
（2）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合安培力的計(jì)算公式列方程求解外力F與時(shí)間t應(yīng)滿足的關(guān)系；
（3）根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件求解最大速度，根據(jù)焦耳定律分析產(chǎn)生的總熱量，根據(jù)動(dòng)能定理求解金屬棒下滑的距離．

解答 解：（1）釋放前回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₁=$\frac{△B}{△t}•S$=2×1×1V=2V，
感應(yīng)電流為I=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}+r}=\frac{2}{20}A=0.1A$，
設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間加速度方向向上，則有：BIL=mgsinα，
即（2t+1）×0.1×1=0.1×10×sin37°
解得：t=2.5s；
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間t的速度大小為v=at，
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₂=B₁Lv=B₁Lat，
感應(yīng)電流I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}+r}$，
根據(jù)牛頓第二定律可得：F+mgsin37°-B₁I₁L=ma，
解得：F=2t+0.4 （N）；
（3）R₁、R₂并聯(lián)后的總電阻為R=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{12×6}{12+6}Ω=4Ω$，
設(shè)最大速度為v_m，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：
$mgsin37°=\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}$，
解得：v_m=1.8m/s，
根據(jù)$Q=\frac{{U}^{2}}{R}t$可得R₁上產(chǎn)生的熱量為Q₁=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}{Q}_{R2}=\frac{1}{2}×\frac{16}{45}J=\frac{8}{45}J$，
根據(jù)Q=I²Rt可得：導(dǎo)體棒產(chǎn)生的焦耳熱Q_r=$\frac{r}{R+r}（{Q}_{1}+{Q}_{R2}）$=$\frac{8}{4+8}×（\frac{16}{45}+\frac{8}{45}）J$=$\frac{16}{45}$J；
所以整個(gè)過(guò)程中產(chǎn)生的熱量為Q_總=Q₁+Q_r+Q_R1=$\frac{8}{9}J$；
整個(gè)過(guò)程中根據(jù)動(dòng)能定理可得：mgsin37°•x-Q_總=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-0，
解得：x=1.75m．
答：（1）至少經(jīng)過(guò)2.5s釋放，會(huì)獲得沿斜面向上的加速度；
（2）外力F與時(shí)間t應(yīng)滿足的關(guān)系為F=2t+0.4 （N）；
（3）此過(guò)程金屬棒下滑的距離為1.75m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于電磁感應(yīng)問(wèn)題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下物體的平衡問(wèn)題；另一條是能量，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．