Question

10．如圖所示，輕繩繞過定滑輪，一端連接物塊A，另一端連接在滑環(huán)C上，物塊A的下端用彈簧與放在地面上的物塊B連接，A、B兩物塊的質(zhì)量均為m，滑環(huán)C的質(zhì)量為M，開始時繩連接滑環(huán)C部分處于水平，繩剛好拉直，滑輪到桿的距離為L，控制滑塊C，使其沿桿緩慢下滑，當(dāng)C下滑$\frac{4}{3}$L時，釋放滑環(huán)C，結(jié)果滑環(huán)C剛好處于靜止，此時B剛好要離開地面，不計一切摩擦，重力加速度為g．
（1）求彈簧的勁度系數(shù)；
（2）若由靜止釋放滑環(huán)C，求當(dāng)物塊B剛好要離開地面時，滑環(huán)C的速度大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)胡克定律求出壓縮量由幾何關(guān)系得知，a、b兩點間的距離等于彈簧B的壓縮量與彈簧C的伸長量之和，從而求勁度系數(shù)．
根據(jù)彈簧的形變量求出A上升的距離，C下滑的距離，根據(jù)機械能守恒求速度．

解答 解：（1）設(shè)開始時彈簧的壓縮量為x，則  kx=mg
設(shè)B物塊剛好要離開地面，彈簧的伸長量為x′，則 kx′=mg
因此$x′=x=\frac{mg}{k}$
由幾何關(guān)系得 $2x=\sqrt{{L}^{2}+\frac{16}{9}{L}^{2}}-L=\frac{2L}{3}$
求得 x=$\frac{L}{3}$
得 k=$\frac{3mg}{L}$
（2）彈簧的勁度系數(shù)為k，開始時彈簧的壓縮量為${x}_{1}=\frac{mg}{k}=\frac{L}{3}$
當(dāng)B剛好要離開地面時，彈簧的伸長量 ${x}_{2}=\frac{mg}{k}=\frac{L}{3}$
因此A上升的距離為 $h={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2L}{3}$
C下滑的距離 H=$\sqrt{（L+h）^{2}-{L}^{2}}=\frac{4L}{3}$
根據(jù)機械能守恒
$MgH-mgh=\frac{1}{2}m（v-\frac{H}{\sqrt{{H}^{2}+{L}^{2}}}）^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
求得 v=$10\sqrt{\frac{（2M-m）gL}{48m+75M}}$
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)$\frac{3mg}{L}$；
（2）若由靜止釋放滑環(huán)C，當(dāng)物塊B剛好要離開地面時，滑環(huán)C的速度大小$10\sqrt{\frac{（2M-m）gL}{48m+75M}}$．

點評 對于含有彈簧的問題，是高考的熱點，要學(xué)會分析彈簧的狀態(tài)，彈簧有三種狀態(tài)：原長、伸長和壓縮，含有彈簧的問題中求解距離時，都要根據(jù)幾何知識研究所求距離與彈簧形變量的關(guān)系．