Question

9．在光滑的水平面內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑細(xì)桿AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別被約束在x軸和y軸上，現(xiàn)讓桿的A端沿x軸正方向以速度v₀勻速運(yùn)動(dòng)，已知P點(diǎn)為桿的中點(diǎn)，某一時(shí)刻桿AB與x軸的夾角為θ．關(guān)于P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度大小v的表達(dá)式，下列說(shuō)法中正確的是（　　）

• A． P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線的一部分
• B． P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧的一部分
• C． P點(diǎn)的速度大小為v=v₀tanθ
• D． P點(diǎn)的速度大小為$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$

Answer 1

分析 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，2x）、（0，2y），AB長(zhǎng)度一定，設(shè)為L(zhǎng)，列式求解出x與y的關(guān)系式，即為P點(diǎn)的軌跡方程；P點(diǎn)的軌跡是圓，速度是切線方向，畫(huà)出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系得到P點(diǎn)速度方向與桿的方向的夾角，P點(diǎn)的速度沿著桿方向的分速度與A點(diǎn)速度沿著桿方向的分速度相等．

解答 解：A、B、設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2x，0）、（0，2y），AB長(zhǎng)度一定，設(shè)為L(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，有：
（2x）²+（2y）²=L²
解得：
x²+y²=（$\frac{L}{2}$）²
故P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，半徑為$\frac{L}{2}$；故A錯(cuò)誤，B正確；
C、D、畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖：

速度v與桿的夾角α=90°-2θ；
由于桿子不可以伸長(zhǎng)，故P點(diǎn)的速度沿著桿方向的分速度與A點(diǎn)速度沿著桿方向的分速度相等，故：
vcosα=v₀cosθ
vcos（90°-2θ）=v₀cosθ
解得：
v=$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$，故C錯(cuò)誤，D正確；
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是采用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法進(jìn)行研究，找出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向是關(guān)鍵，同時(shí)掌握?qǐng)A的方程．