Question

14．如圖所示，間距為L的兩條足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ與水平面夾角α=30°，下端N、Q間連接一阻值為R的電阻．導(dǎo)軌上有一個正方形區(qū)間abcd，cd以下存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向下的勻強(qiáng)磁場．長度為L、電阻為r的金屬棒與導(dǎo)軌接觸良好且垂直導(dǎo)軌放置，當(dāng)金屬棒從ab位置由靜止釋放的同時，對金屬棒施加一個平行導(dǎo)軌向下的恒力F，F(xiàn)的大小是金屬棒重力的$\frac{1}{2}$，金屬棒通過cd時恰好做勻速運動，若此時突然只將力F的方向反向，力F的大小不變，經(jīng)過一段時間后金屬棒靜止，已知重力加速度為g，不計金屬導(dǎo)軌的電阻，求：
（1）金屬棒的質(zhì)量；
（2）整個過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）金屬棒通過cd后向下運動的最大距離．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律和運動學(xué)公式求出金屬棒剛進(jìn)入磁場時的速度，剛進(jìn)入磁場由平衡條件可求質(zhì)量；
（2）由能量關(guān)系可求整個過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）力F反向后，金屬棒所受的合力等于安培力，根據(jù)牛頓第二定律列式，由累積法求出向下運動的最大距離；

解答 解：（1）在磁場外運動過程：$F+mgsin30°=m{a}_{1}^{\;}$，${v}_{\;}^{2}=2{a}_{1}^{\;}L$
剛進(jìn)入磁場時：${F}_{安}^{\;}=F+mgsin30°=mg$，
${F}_{安}^{\;}=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R+r}$
聯(lián)立可以得到：$m=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}\sqrt{\frac{2L}{g}}$．
（2）從金屬棒進(jìn)入磁場到最終靜止過程中：
${W}_{G}^{\;}-{W}_{F}^{\;}-{W}_{安}^{\;}=0-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，${W}_{G}^{\;}={W}_{F}^{\;}$，${Q}_{總}^{\;}={W}_{安}^{\;}$，${Q}_{R}^{\;}=\frac{R}{R+r}{Q}_{總}^{\;}$
聯(lián)立可以得到：${Q}_{R}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}R}{（R+r）_{\;}^{2}}\sqrt{2gL}$．
（3）拉力反向后導(dǎo)體棒所受合力等于安培力，則：${F}_{A}^{\;}=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}v}{R+r}=ma$
取極短時間△t內(nèi)，△x=v•△t，$a=\frac{△v}{△t}$
代入并化簡得到：$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}△x}{R+r}=m•△v$
設(shè)金屬棒離開cd后向下運動的最大距離為x，則由累積法可以知道：$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}x}{R+r}=mv$
整理可以得到：x=2L．
答：（1）金屬棒的質(zhì)量為$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R+r}\sqrt{\frac{2L}{g}}$；
（2）整個過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}R}{（R+r）_{\;}^{2}}\sqrt{2gL}$；
（3）金屬棒通過cd后向下運動的最大距離為2L

點評 本題綜合應(yīng)用電路知識、電磁感應(yīng)知識和數(shù)學(xué)知識的能力要求較高，有一定難度．解答此題關(guān)鍵是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，其橋梁是安培力，理清棒的運動情況，根據(jù)力的平衡條件和能量守恒處理