Question

12．如圖（a）所示，在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，OA與OCA為置于豎直平面內(nèi)的光滑金屬導(dǎo)軌，其中OCA滿足曲線方程$x=0.5sin（\frac{π}{3}y）$m，C為導(dǎo)軌的最右端，導(dǎo)軌OA與OCA相交處的O點(diǎn)和A點(diǎn)分別接有體積可忽略的定值電阻R₁和R₂，其中R₁=4Ω、R₂=12Ω．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.1kg的足夠長(zhǎng)的金屬棒MN在豎直向上的外力F作用下，以v=3m/s的速度向上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)棒與兩導(dǎo)軌接觸良好，除電阻R₁、R₂外其余電阻不計(jì)，g取10m/s²，求：
（1）金屬棒MN在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D（b）中畫出金屬棒MN中的感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖象；
（3）當(dāng)金屬棒MN運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=2.5m處時(shí)，外力F的大小；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)y=1.5m處時(shí)，電阻R₁的瞬時(shí)電功率為P₁=0.9W，在該過(guò)程中，金屬棒克服安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒MN沿導(dǎo)軌豎直向上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)中切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．當(dāng)金屬棒MN勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大，根據(jù)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式及歐姆定律即可求解電流；
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律與電阻并聯(lián)特征，即可求解；
（3）金屬棒MN勻速運(yùn)動(dòng)中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用，受力平衡，根據(jù)平衡條件列式即可求解；
（4）克服安培力做的功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，然后求出電阻R產(chǎn)生的焦耳熱，再由動(dòng)能定理可以求出安培力做的功．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒MN勻速運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大
金屬棒MN接入電路的有效長(zhǎng)度為導(dǎo)軌OCA形狀滿足的曲線方程中的x值．
因此接入電路的金屬棒的有效長(zhǎng)度為L(zhǎng)=x=0.5sin$\frac{π}{3}$y
則有．L_m=x_m=0.5m
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，E_m=BL_mv      
解得：E_m=3.0V
（2）閉合電路歐姆定律，I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{總}(cāng)}$
且R_總=$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$=3Ω，
解得：I_m=1.0A，
如圖所示，
（3）金屬棒MN勻速運(yùn)動(dòng)中受重力mg、安培力F_安、外力F_外作用
當(dāng)y=2.5m時(shí)，x=0.5sin$\frac{5π}{6}$=0.25m
受力平衡，F(xiàn)_外=F_安+mg=BIL+mg=$\frac{{B}^{2}{x}^{2}v}{{R}_{總}(cāng)}$+mg=1.25N
（4）當(dāng)y=1.5m時(shí)，x=0.5sin$\frac{π}{2}$=0.5m
此時(shí)P₁=0.9W，所以P_總=$\frac{{R}_{1}+{R}_{2}}{{R}_{2}}$P₁=1.2W
P_總=F_安v=$\frac{{B}^{2}{x}^{2}{v}_{t}^{2}}{{R}_{總}(cāng)}$=1.2W     
得此時(shí)v_t²=3.6（m/s）²
選取從y=0處到達(dá)y=1.5m處時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理，則有：W_克=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{t}^{2}$
解得：W_克=1.62J
答：（1）金屬棒MN在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的最大值為3V；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D（b）中畫出金屬棒MN中的感應(yīng)電流I隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖象如上圖所示；
（3）當(dāng)金屬棒MN運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=2.5m處時(shí)，外力F的大小為1.25N；
（4）若金屬棒MN從y=0處，在不受外力的情況下，以初速度v=6m/s向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)y=1.5m處時(shí)，電阻R₁的瞬時(shí)電功率為P₁=0.9W，在該過(guò)程中，金屬棒克服安培力所做的功為1.62J．

點(diǎn)評(píng) 解得本題要求同學(xué)們能分析出什么時(shí)候感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，知道金屬棒MN勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，能正確進(jìn)行受力分析，根據(jù)平衡條件求解，難度較大．