Question

（2006?連云港二模）如圖所示，豎直放置的兩根足夠長(zhǎng)的光滑金屬導(dǎo)軌相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌的兩端分別與電源（串有一滑動(dòng)變阻器R）、定值電阻、電容器（原來(lái)不帶電）和開(kāi)關(guān)K相連．整個(gè)空間充滿了垂直于導(dǎo)軌平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．一質(zhì)量為m，電阻不計(jì)的金屬棒ab橫跨在導(dǎo)軌上．已知電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，電容器的電容為C，定值電阻的阻值為R₀，不計(jì)導(dǎo)軌的電阻．
（1）當(dāng)K接1時(shí)，金屬棒ab在磁場(chǎng)中恰好保持靜止，則滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值R為多大？
（2）當(dāng)K接2后，金屬棒ab從靜止開(kāi)始下落，下落距離s時(shí)達(dá)到穩(wěn)定速度，則此穩(wěn)定速度的大小為多大？下落s的過(guò)程中所需的時(shí)間為多少？
（3）ab達(dá)到穩(wěn)定速度后，將開(kāi)關(guān)K突然接到3，試通過(guò)推導(dǎo)，說(shuō)明ab作何種性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)？求ab再下落距離s時(shí)，電容器儲(chǔ)存的電能是多少？（設(shè)電容器不漏電，此時(shí)電容器沒(méi)有被擊穿）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)K接1時(shí)，金屬棒ab在磁場(chǎng)中恰好保持靜止，棒的重力與安培力平衡，由平衡條件和安培力公式列式，可求出電路中的電流，再根據(jù)歐姆定律求R；
（2）當(dāng)K接2后，金屬棒ab從靜止開(kāi)始下落，先做加速度減小的變加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)重力的功率等于電功率列式求速度．根據(jù)動(dòng)量定理和法拉第定律列式求時(shí)間．
（3）ab達(dá)到穩(wěn)定速度后，將開(kāi)關(guān)K突然接到3，電容器充電，電路中充電電流，ab棒受到安培力，安培力的瞬時(shí)表達(dá)式F=BiL，i=

△Q

△t

=

C△U

△t

，又U=E=BLv，再結(jié)合牛頓第二定律求得瞬時(shí)加速度，即可判斷棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)．根據(jù)能量守恒求電容器儲(chǔ)存的電能．

解答：解：（1）當(dāng)K接1時(shí)，金屬棒ab在磁場(chǎng)中恰好保持靜止，棒的重力與安培力平衡，則有
  mg=BIL
又I=

E

R+r

聯(lián)立解得，R=

BEL

mg

-r
（2）當(dāng)K接2后，棒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，則有
   mgv=

E′2

R0

，
又感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E′=BLv
聯(lián)立上兩式得：v=

mgR0

B2L2

①
根據(jù)動(dòng)量定理得：mgt-B

.

I

Lt=mv
而q=

.

I

t
又感應(yīng)電荷量q=

.

I

t，

.

I

=

. E

R0

，

.

E

=

△Φ

△t

，△Φ=BLs，聯(lián)立得q=

BLs

R0

聯(lián)立解得t=

mR0

B2L2

+

B2L2s

mgR0

．
（3）將開(kāi)關(guān)K突然接到3，電容器充電，電路中充電電流，ab棒受到向上的安培力，設(shè)瞬時(shí)加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得
   mg-BiL=ma ②
又i=

△Q

△t

=

C△U

△t

，又U=E=BLv，得i=

CBL?△v

△t

=CBLa③
由②③得：mg-BL?CBLa=ma
解得，a=

mg

m+B2L2C

 ④
可見(jiàn)棒的加速度不變，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
當(dāng)ab下降距離s時(shí)，設(shè)棒的速度為v′，則v′²-v²=2as ⑤
設(shè)電容器儲(chǔ)存的電能為△E，則根據(jù)能量守恒得
   mgs+

1

2

mv2=

1

2

mv′2+△E⑥
聯(lián)立①④⑤⑥得：△E=

B2L2mgCs

m+B2L2C

．
答：（1）滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值R為

BEL

mg

-r．
（2）穩(wěn)定速度的大小為

mgR0

B2L2

，下落s的過(guò)程中所需的時(shí)間為

mR0

B2L2

+

B2L2s

mgR0

．
（3）棒做加速度為a=

mg

m+B2L2C

的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，ab再下落距離s時(shí)，電容器儲(chǔ)存的電能是

B2L2mgCs

m+B2L2C

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)知識(shí)的綜合，關(guān)鍵要會(huì)推導(dǎo)加速度的表達(dá)式，通過(guò)分析棒的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況．