Question

1．在豎直平面內(nèi)有一由內(nèi)徑為r₁的光滑圓管彎曲而成的環(huán)形軌道，環(huán)形軌道半徑R遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于r₁，如圖所示，有一質(zhì)量為m的小球，直徑r₂略小于r₁，可在圓管中運(yùn)動(dòng)．在最低點(diǎn)應(yīng)給小球一個(gè)多大的初速度才能使小球在豎直環(huán)軌道內(nèi)恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)？

Answer 1

分析 以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有2種情況：①小球與管下壁接觸，此時(shí)最小速度可為0，相當(dāng)于圓周運(yùn)動(dòng)的桿模型，由機(jī)械能守恒可求得最低點(diǎn)的速度；②小球與管上壁接觸，此時(shí)最小速度為重力提供向心力的速度，相當(dāng)于圓周運(yùn)動(dòng)的繩模型，由向心力公式和機(jī)械能守恒可求得最低點(diǎn)的速度．

解答 解：小球在內(nèi)徑比它的直徑略大的光滑圓管壁中完成圓周運(yùn)動(dòng)有兩種可能：
①到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)只與管下壁接觸，此時(shí)最小速度可以為零．由慣性可完成下半周運(yùn)動(dòng)．
設(shè)這種情況下最低點(diǎn)的速度為v₀，
則小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=mg•2R$
所以：v₀=$2\sqrt{gR}$
②到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)只與管上壁接觸，此時(shí)恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件為只有重力提供向心力，
設(shè)此時(shí)最高點(diǎn)的速度為v₁，最低點(diǎn)的速度為v₀′，
則由向心力公式得：mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
再由機(jī)械能守恒可得$\frac{1}{2}$mv₀′²-$\frac{1}{2}$mv₁²=mg2R，
結(jié)合以上兩式解得最低點(diǎn)速度為v₀′=$\sqrt{5gR}$．
答：在最低點(diǎn)速度為$2\sqrt{gR}$或者$\sqrt{5gR}$時(shí)才能使小球在豎直環(huán)軌道內(nèi)恰能完成圓周運(yùn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題設(shè)計(jì)巧妙，屬于創(chuàng)新題，實(shí)質(zhì)考查了圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型，繩模型與桿模型．球與管下壁接觸的臨界條件對(duì)應(yīng)桿模型，球與管上壁接觸的臨界條件對(duì)應(yīng)繩模型．應(yīng)熟記桿模型做圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)臨界速度為0，繩模型做圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)臨界速度為重力提供向心力時(shí)的速度．