Question

（18分）1957年第一顆人造衛(wèi)星上天，開辟了人類宇航的新時(shí)代。四十多年來，人類不僅發(fā)射了人造地球衛(wèi)星，還向宇宙空間發(fā)射了多個(gè)空間探測(cè)器。空間探測(cè)器要飛向火星等其它行星，甚至飛出太陽(yáng)系，首先要克服地球?qū)λ�的引力的作用。理論研究表明，由于物體在地球附近受到地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力的作用，具有引力勢(shì)能。設(shè)質(zhì)量為m的物體在距地球無(wú)限遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為零，則引力勢(shì)能表達(dá)式為E_P＝－，式中G是萬(wàn)有引力常量，M是地球的質(zhì)量，r是該物體距地心的距離。

（1）試證明空間探測(cè)器的最小發(fā)射速度與它繞地球勻速運(yùn)行的最大環(huán)繞速度相等。

（2）現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m的空間探測(cè)器繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為T，已知球半徑為R，地面附近的重力加速度為g。求該探測(cè)器做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的機(jī)械能（用m、g、R、T表示）；

（3）在（2）的情形下，要使這個(gè)空間探測(cè)器從運(yùn)行軌道上出發(fā)，脫離地球的引力作用，至少要對(duì)它作多少功？

Answer 1

解析：

（1）設(shè)G是萬(wàn)有引力常量，地球質(zhì)量為M，人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量是m．當(dāng)人造地球衛(wèi)星在離地心r處的軌道上繞地球以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星環(huán)繞運(yùn)行所需的向心力關(guān)系知

＝， v＝（2分）

因?yàn)镽是r的最小值，所以v＝是地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，即v_{max環(huán)}＝（2分）

取離地球中心無(wú)窮遠(yuǎn)處為引力勢(shì)能的零點(diǎn)，則物體在距地球中心為r處的引力勢(shì)能可表示為（1分）

設(shè)地面上衛(wèi)星的發(fā)射速度為v_發(fā)，先假定發(fā)射時(shí)不計(jì)空氣阻力，地球衛(wèi)星進(jìn)人地球軌道半徑r處時(shí)，衛(wèi)星環(huán)繞速度為v，則由機(jī)械能守恒定律，可得

（2分）

又因v＝，將其代入上式可得

所以v_發(fā)＝�。�1分）

要發(fā)射一個(gè)貼“地皮”飛行的人造地球衛(wèi)星，這時(shí)的r是最小的，從v_發(fā)可知衛(wèi)星發(fā)射速度也是最小的，將r＝R代入上式的v_發(fā)，得v_發(fā)＝（1分）即v_發(fā)＝v_{max環(huán)}（1分）

其他解法可一樣得分。

（2）空間探測(cè)器繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，有

由＝得，空間站的軌道半徑r＝　　（1分）

＝

隨空間站一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，空間探測(cè)器的動(dòng)能為mv²＝＝�。�1分）

隨空間站一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，空間探測(cè)器具有的機(jī)械能為

E₁＝－＋mv²=－＝（2分）

（3）空間站要脫離地球的引力，機(jī)械能最小值為E_∞＝0，因此，對(duì)探測(cè)器做功為

W＝E_∞－E₁＝　　　　　�。�2分）

由地面附近的重力加速度g=得W＝　（2分）