Question

如圖所示，半徑分別為R和r的甲、乙兩個(gè)光滑的圓形軌道置于同一豎直平面上（R＞r），兩圓形軌道之間用一條水平粗糙軌道CD連接，軌道CD與甲乙兩個(gè)圓形軌道相切于C、D兩點(diǎn)．現(xiàn)有一小球以一定的速度先滑上甲軌道，繞行一圈后通過(guò)軌道CD再滑上乙軌道，繞行一圈后離開(kāi)乙軌道．已知小球在甲軌道最高點(diǎn)處對(duì)軌道的壓力等于球的重力，在乙軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好能過(guò)最高點(diǎn)．小球與軌道CD間的動(dòng)摩擦系數(shù)為μ，求
（1）小球過(guò)甲、乙軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度V₁、V₂
（2）水平CD段的長(zhǎng)度L．

Answer 1

解：（1）設(shè)小球質(zhì)量為m，當(dāng)小球在甲軌道最高點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力等于球的重力，
由牛頓第二定律得：
N+mg=m
V₁=
當(dāng)小球在乙軌道最高點(diǎn)時(shí)恰好能過(guò)最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg=m V₂=
（2）小球從甲軌道最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到乙軌道最高點(diǎn)的過(guò)程中，
由動(dòng)能定理得：
mg（2R-2r）-fL=mv₂²-mv₁²
滑動(dòng)摩擦力f=μN(yùn)=μmg
∴L=
答：（1）小球過(guò)甲、乙軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度分別是，．
（2）水平CD段的長(zhǎng)度L是．
分析：小球在甲軌道和乙軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析．
知道小球在乙軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)恰好能過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件．
運(yùn)用牛頓第二定律列出合力提供向心力的表達(dá)式，求出最高點(diǎn)的速度．
再運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球從甲軌道最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到乙軌道最高點(diǎn)的過(guò)程，求解L．
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題分析要注重受力分析后，找出向心力的來(lái)源并能列出相應(yīng)的等式求解問(wèn)題．
我們要清楚圓周運(yùn)動(dòng)里一些臨界狀態(tài)的語(yǔ)言表達(dá)，并知道其中的含義．