Question

12．中國第三顆繞月探測衛(wèi)星--“嫦娥三號”計劃于2013年發(fā)射，“嫦娥三號”衛(wèi)星將實現(xiàn)軟著陸、無人探測及月夜生存三大創(chuàng)新．假設為了探測月球，載著登陸艙的探測飛船在以月球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質(zhì)量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離月球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質(zhì)量為m₂，則下列有關說法正確的是（　�。�

• A． 月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{T}_{1}^{2}}$
• B． 登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂=T₁$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$
• C． 登陸艙在半徑為r₁與為半徑r₂的軌道上的速度比為 $\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{2}}{{m}_{2}{r}_{1}}}$
• D． 月球表面的重力加速度g_月=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$

Answer 1

分析 1、根據(jù)萬有引力提供向心力，化簡可得月球的質(zhì)量M．
2、根據(jù)開普勒第三定律，化簡可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂．
3、根據(jù)萬有引力提供向心力可得速度之比等于二次方根下半徑的反比．
4、根據(jù)牛頓第二定律，化簡可得向心加速度，可以判斷與月球表面的重力加速度的關系

解答 解：A、根據(jù)G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得，月球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{G{T}_{1}^{2}}$，故A錯誤；
B、根據(jù)開普勒第三定律可得，T₂=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$T₁，B項正確；
C、根據(jù)G$\frac{M{m}_{1}}{{r}_{1}^{2}}$=m$\frac{{V}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$可得，v₁=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{1}}}$，同理可得，v₂=$\sqrt{\frac{GM}{{r}_{2}}}$，所以登陸艙在半徑為r₁與為半徑r₂的軌道上的速度比為$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，C項錯誤；
D、根據(jù)m₁r₁$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$=m₁a₁可得，載著登陸艙的探測飛船的加速度a1=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，該加速度不等于星球表面的重力加速度，D項錯誤．
故選：B

點評 本題是典型的天體運動的問題，根據(jù)萬有引力提供向心力是解決這類問題的重要的關系，要能根據(jù)題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達式