Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的矩形區(qū)域abcd內(nèi)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)從ad邊的中心O點(diǎn)處，垂直磁場(chǎng)方向射入一速度為v₀的帶正電粒子，v₀與ad邊的夾角為30°．已知粒子質(zhì)量為m，帶電量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，不計(jì)粒子的重力．
（1）若要使粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，求v₀的大小范圍；
（2）若要求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，此最長(zhǎng)時(shí)間是多少？與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間相對(duì)應(yīng)的v₀的大小范圍是多少？

Answer 1

（1）如答圖所示，當(dāng)粒子的速度大于與R₁相對(duì)應(yīng)的速度v₁時(shí)，粒子將從dc邊射出．
由幾何關(guān)系可得：R₁=L ①
由洛侖茲力和向心力公式可得：m

v12

R12

=qv1B②
當(dāng)粒子的速度小于與R₂相對(duì)應(yīng)的速度v₂時(shí)，粒子將從ad邊射出．
由幾何關(guān)系可得：

L

2

-R2=

R2

2

③
由③式解得：R2=

L

3

④
由洛侖茲力和向心力公式可得：m

v22

R22

=qv2B⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得：v1=

qBL

m

v2=

qBL

3m

⑥
所以v₀的取值范圍是

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

⑦
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角必然最大，在答圖中，當(dāng)粒子的速度小于v₂時(shí)，粒子從ad邊的不同位置射出時(shí)，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也是

5T

6

，此即粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間
由向心力和洛侖茲力公式可得：T=

2πm

qB

⑧
所以粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為：t=

5πm

3qB

⑨
與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間相對(duì)應(yīng)的v₀的大小范圍是：0＜v0≤

qBL

3m

答：（1）若要使粒子能從ab邊射出磁場(chǎng)，則v₀的大小范圍是

qBL

3m

＜v0≤

qBL

m

；
（2）若要求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，此最長(zhǎng)時(shí)間是：t=

5πm

3qB

；與粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間相對(duì)應(yīng)的v₀的大小范圍是：0＜v0≤

qBL

3m

．