Question

16．國際空間站是迄今最大的太空合作項目，其離地高度為H，繞地球做圓周運動的周期為T₁．又知萬有引力常量G，地球半徑R，同步衛(wèi)星距地面的高度h，地球的自轉(zhuǎn)周期T₂以及地球表面重力加速度g．某同學根據(jù)以上條件，提出一種計算地球質(zhì)量M的方法如下：
同步衛(wèi)星繞地心做圓周運動，由G$\frac{Mm}{{h}^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）²h得M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{2}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
（1）請判斷上面所列方程是否正確，如果不正確，請說明理由．
（2）請根據(jù)題給條件再另外給出兩種計算地球質(zhì)量的方法，并解得結(jié)果．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求解中心天體的質(zhì)量，r為軌道半徑，不是高度．
根據(jù)國際空間站做圓周運動的軌道半徑和周期，結(jié)合萬有引力提供向心力求出地球的質(zhì)量．根據(jù)萬有引力等于重力求出地球的質(zhì)量．

解答 解：（1）上述方程錯誤，同步衛(wèi)星繞地心做圓周運動，軌道半徑為R+h，不是高度h．
（2）方法一：國際空間站繞地球做圓周運動，根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．
方法二：根據(jù)萬有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
答：（1）上述方程錯誤，同步衛(wèi)星繞地心做圓周運動，軌道半徑為R+h，不是高度h．
（2）地球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，或$\frac{g{R}^{2}}{G}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力，并能靈活運用．