Question

16．如圖所示，是交流發(fā)電機(jī)模型示意圖．在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一單匝矩形線圈abcd可繞線圈平面內(nèi)垂直于磁感線的OO′軸轉(zhuǎn)動(dòng)，由線圈引出的導(dǎo)線ae和df分別與兩個(gè)跟線圈一起繞OO′轉(zhuǎn)動(dòng)的金屬圈環(huán)相連接，金屬圓環(huán)又分別與兩個(gè)固定的電刷保持滑動(dòng)接觸，這樣矩形線圈在轉(zhuǎn)動(dòng)中就可以保持和外電路電阻R形成閉合電路．已知ab長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁，bc長(zhǎng)度為L(zhǎng)₂，線圈以恒定角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)．
（1）線圈平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，試推導(dǎo)t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的表達(dá)式；
（2）若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．（其它電阻均不計(jì)）

Answer 1

分析 （1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有ab和cd切割磁感線，先求出轉(zhuǎn)動(dòng)線速度，根據(jù)E=BLv，求出導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，從而寫出瞬時(shí)表達(dá)式；
（2）先求出平均電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)歐姆定律求出平均電流，根據(jù)Q=I²RT即可求解．

解答 解：（1）矩形線圈abcd轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，只有ab和cd切割磁感線，設(shè)ab和cd的轉(zhuǎn)動(dòng)速度為v，則有：$v=ω\frac{{L}_{2}}{2}$                               
在t時(shí)刻，導(dǎo)線ab和cd因切割磁感線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為：E=BL₁v                                             
由圖可知：v′=vsinωt                                   
則整個(gè)線圈的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：e=2E=BL₁L₂ωsinωt        
（2）由閉合電路歐姆定律可知：$I=\frac{E}{R+r}$                   
電動(dòng)勢(shì)的有效值為：$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{B{L}_{1}{L}_{2}ω}{\sqrt{2}}$                        
則線圈轉(zhuǎn)動(dòng)一周在R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=I²Rt          
其中  $T\\;=\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{ω}$
 聯(lián)立解得：Q=$πRω（\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$
答：（1）線圈平面處于中性面位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，t時(shí)刻整個(gè)線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的表達(dá)式為e=2E=BL₁L₂ωsinωt；
（2）若線圈電阻為r，求線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為$πRω（\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R+r}）^{2}$

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)線圈與磁場(chǎng)相平行時(shí)，即線圈邊框正好垂直切割磁感線，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大．求電荷量時(shí)，運(yùn)用交流電的平均值，求產(chǎn)生的熱能時(shí)，用交流電的有效值．