Question

 [2013年3月湖北省黃岡市質(zhì)檢]我國的“嫦娥三號”探月衛(wèi)星將實(shí)現(xiàn)“月面軟著陸”，該過程的最后階段是:著陸器離月面h高時(shí)速度減小為零,為防止發(fā)動機(jī)將月面上的塵埃吹起,此時(shí)要關(guān)掉所有的發(fā)動機(jī)，讓著陸器自由下落著陸。己知地球質(zhì)量是月球質(zhì)量的81倍,地球半徑是月球半徑的4倍， 地球半徑R₀=6.4×10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，不計(jì)月球自轉(zhuǎn)的影響(結(jié) 果保留兩位有效數(shù)字).

(1)若題中h=3.2m，求著陸器落到月面時(shí)的速度大�。�

(2)由于引力的作用，月球引力范圍內(nèi)的物體具有引力勢能。理論證明，若取離月心無窮遠(yuǎn)處為引力勢能的零勢點(diǎn)，距離月心為r的物體的引力勢能，式中G為萬有引力常數(shù)，M為月球的質(zhì)量，m為物體的質(zhì)量。求著陸器僅依靠慣性從月球表面脫離月球引 力范圍所需的最小速度。

Answer 1

解析： (1)設(shè)月球質(zhì)量為M、半徑為R，月面附近重力加速為g，著陸器落到月面時(shí)的速度為υ， 忽略月球自轉(zhuǎn)，在月球表面附近質(zhì)量為m的物體滿足： ① 

       設(shè)地球的質(zhì)量為M₀，同理有：                   ② 

       著陸器自由下落過程中有：υ²=2gh                              ③ 

       由①②③式并帶入數(shù)據(jù)可得：υ=3.6m/s                               

(2)設(shè)著陸器以速度υ₀，從月面離開月球，要能離開月球引力范圍，則至少要運(yùn)動到月球的零引力處，即離月球無窮遠(yuǎn)處。

   在著陸器從月面到無窮遠(yuǎn)處過程中，由能量關(guān)系得：

                            ④ 

由①②④式并帶入數(shù)據(jù)可得：υ0=2.5×103333m/s 。