Question

13．宇航員駕駛飛船環(huán)繞一未知星球表面飛行一周用時為T，然后飛船減速降落在該星球表面，宇航員讓隨身攜帶的小鐵錘從高為h₁處自由下落，得到小鐵錘距地面距離隨時間變化關系如圖，已知萬有引力常量為G，根據題中所給信息，判斷下列說法中正確的是（　　）

• A． 可以測出該星球表面的重力加速度
• B． 可以測出該星球的質量
• C． 不可以測出該星球對應的第一宇宙速度
• D． 可以測出小鐵錘撞擊地面前一瞬間的速度

Answer 1

分析 小物塊自由下落h ₁高度所用時間為t，根據：h=$\frac{1}{2}$gt² 求出星球表面的重力加速度．根據萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力，結合重力加速度的大小，求出第一宇宙速度，根據機械能守恒即可求得落地的速度．

解答 解：設飛船質量為m，星球的質量為M，星球的半徑為R，星球表面的重力加速度為g
A、由自由落體運動規(guī)律有：${h}_{1}=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：$g=\frac{2{h}_{1}}{{t}^{2}}$，故A正確；
B、由牛頓第二定律和萬有引力定律得：
$mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，公式兩邊的飛船的質量m可以約調，所以不能求得飛船的質量，故B錯誤；
C、該星球對應的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$
由牛頓第二定律和萬有引力定律得：
$mg=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解得：v=$\frac{2{h}_{1}T}{2πt}$，故C錯誤；
D、由落地的過程中機械能守恒得：$mg{h}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
聯立得：${v}_{1}=\sqrt{2g{h}_{1}}=\frac{2{h}_{1}}{t}$，故D正確．
故選：AD

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．D選項也可以使用平均速度的公式進行判定．