Question

18．美國(guó)宇航局（NASA）于北京時(shí)間2015年9月28日晚間23時(shí)30分宣布有關(guān)火星探索的重要科學(xué)發(fā)現(xiàn)-火星上存在液態(tài)水的“強(qiáng)有力”證據(jù)，荷蘭一家名為“火星一號(hào)”的公司計(jì)劃在2023年把4名宇航員送上火星．假設(shè)宇航員登錄火星后，測(cè)得火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，已知地球表面的重力加速的為g，地球半徑為R，宇航員在地面上能向上跳起的最大高度為h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，下列說法正確的是（　　）

• A． 火星的密度是$\frac{2g}{3πGR}$
• B． 火星表面的重力加速度為$\frac{2g}{9}$
• C． 火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度的比值為$\frac{2}{3}$
• D． 宇航員在火星上跳起后，能達(dá)到的最大高度為$\frac{9}{8}$h

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力得出地球的質(zhì)量，從而求出地球的密度，結(jié)合火星半徑和地球半徑的關(guān)系，以及質(zhì)量關(guān)系求出火星的密度．根據(jù)萬有引力等于重力求出火星表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表達(dá)式，從而得出第一宇宙速度之比．根據(jù)表面的重力加速度之比，結(jié)合速度位移公式求出上升的最大高度關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{{M}_{地}m}{{R}^{2}}=mg$得，地球的質(zhì)量${M}_{地}=\frac{g{R}^{2}}{G}$，地球的密度$ρ=\frac{{M}_{地}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，因?yàn)榛鹦堑陌霃绞堑厍虬霃降?\frac{1}{2}$，則體積是地球的$\frac{1}{8}$，火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星的密度是地球密度的$\frac{8}{9}$，即為$\frac{2g}{3πGR}$，故A正確．
B、根據(jù)g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$知，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，即為$\frac{4}{9}g$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，火星的半徑是地球半徑的$\frac{1}{2}$，火星質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{9}$，則火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\frac{\sqrt{2}}{3}$倍，故C錯(cuò)誤．
D、火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{4}{9}$，根據(jù)h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$知，上升的最大高度為$\frac{9}{4}h$，故D錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．