Question

（2005?海淀區(qū)一模）如圖所示，兩根相距為d足夠長的平行光滑金屬導軌位于水平面的xoy平面內，一端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側存在豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B，一電阻為r的金屬直桿與金屬導軌垂直放置并接觸良好，金屬桿可在導軌上滑動．開始時，金屬直桿位于x=0處，給金屬桿一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度．在運動過程中有一大小可調節(jié)的外力F作用在金屬桿上，使金屬桿保持大小為a、方向沿x軸負方向的恒定加速度運動．金屬軌道電阻忽略不計．
（1）該回路中存在感應電流的時間多長？
（2）當金屬桿的速度大小為v₀/2時，回路中的電流有多大？
（3）若金屬桿質量為m，試推導出外力F隨時間t變化的關系．

Answer 1

分析：（1）由題得知，金屬桿做勻變速運動，由運動學公式可求出存在感應電流的時間．
（2）根據法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律，可求出電流的大�。�
（3）由牛頓第二定律與運動學公式，可列出外力與時間的關系式．

解答：解：（1）金屬桿一大小為v₀、方向沿x軸正方向的初速度．接著向右勻減速運動，當速度為零后，向左勻加速運動，
所以回路中存在感應電流的時間t=

2v0

a

，
（2）根據法拉第電磁感應電動勢，則有E=

1

2

Bdv₀，
由閉合電路歐姆定律，則有I=

Bdv0

2(R+r)

，
（3）根據牛頓第二定律與運動學公式，
當金屬桿向x正方向運動時，則有：F=ma-

B2d2v0

R+r

+

B2d2at

R+r

（0≤t≤

v0

a

）
當金屬桿向x負方向運動時，則有：F=ma++

B2d2at

R+r

（

v0

a

≤t≤

2v0

a

）
答：（1）該回路中存在感應電流的時間=

2v0

a

；
（2）當金屬桿的速度大小為

v0

2

時，回路中的電流有I=

Bdv0

2(R+r)

；
（3）若金屬桿質量為m，則推導出外力F隨時間t變化的關系：當金屬桿向x正方向運動時，則有：F=ma-

B2d2v0

R+r

+

B2d2at

R+r

（0≤t≤

v0

a

）
當金屬桿向x負方向運動時，則有：F=ma++

B2d2at

R+r

（

v0

a

≤t≤

2v0

a

）．

點評：本題是電磁感應與運動學和動力學知識的綜合應用，要防止只研究金屬桿沿x軸正方向運動過程，造成漏解．