Question

如圖甲所示，水平加速電場(chǎng)的加速電壓為U₀，在它的右側(cè)有由水平正對(duì)放置的平行金屬板a、b構(gòu)成的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，已知偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的板長(zhǎng)L=0.10 m，板間距離d=5.0×10^-2 m，兩板間接有如圖15乙所示的隨時(shí)間變化的電壓U，且a板電勢(shì)高于b板電勢(shì)。在金屬板右側(cè)存在有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的左邊界為與金屬板右側(cè)重合的豎直平面MN，MN右側(cè)的磁場(chǎng)范圍足夠大，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5.0×10^-3T，方向與偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)正交向里（垂直紙面向里）。質(zhì)量和電荷量都相同的帶正電的粒子從靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)電壓U₀=50V的加速電場(chǎng)后，連續(xù)沿兩金屬板間的中線OO′方向射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中，中線OO′與磁場(chǎng)邊界MN垂直。已知帶電粒子的比荷=1.0×10⁸ C/kg，不計(jì)粒子所受的重力和粒子間的相互作用力，忽略偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)兩板間電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)，在每個(gè)粒子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)可視作恒定不變。

1.求t=0時(shí)刻射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離；

2.求粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度；

3.對(duì)于所有進(jìn)入磁場(chǎng)中的粒子，如果要增大粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離，應(yīng)該采取哪些措施？試從理論上推理說(shuō)明。

 

Answer 1

 

1.0.40m

2.1.1×10⁵m/s…

3.要增大粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離x，應(yīng)該減小勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，或增大加速電壓U₀

解析:（1）設(shè)經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)加速后，粒子的速度為v₀，根據(jù)動(dòng)能定理有

，解得v₀==1.0×10⁵m/s……………………………………（1分）

由于t=0時(shí)刻偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為零，所以此時(shí)射入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的粒子將勻速穿過(guò)電場(chǎng)而以v₀的速度垂直磁場(chǎng)邊界進(jìn)入磁場(chǎng)中，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為半圓。

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律得 

qv₀B=m………………………………………………………………………（1分）

解得 r= …………………………………………………………………………（1分）

所以粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離d=2r =0.40m…………………（1分）

（2）設(shè)粒子以最大偏轉(zhuǎn)量離開(kāi)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，即軌跡經(jīng)過(guò)金屬板右側(cè)邊緣處，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)a、b板的電壓為U_m，則粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，加速度a=

水平方向 L=v₀t

豎直方向 y==

解得 U_m==25V<50V………………………………………………………（1分）

所以，電壓U_m=25V時(shí)對(duì)應(yīng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度最大，設(shè)最大速度大小為v_m，方向與OO′的夾角為q，則對(duì)于粒子通過(guò)加速電場(chǎng)和偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有    qU₀+q=mv_m²

解得 v_m==×10⁵m/s=1.1×10⁵m/s…………………………（1分）

tanq==，即q=arctan……………………………………………（1分）

（或cosq==，即q=arccos）

（說(shuō)明：計(jì)算結(jié)果帶有根號(hào)，結(jié)果正確的同樣得分）

 

（3）設(shè)任意時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子，其進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度方向與OO′的夾角為α，則其速度大小

粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑 

由如圖答所示的幾何關(guān)系可知，粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離

……………………………………………（1分）

所以要增大粒子在磁場(chǎng)邊界上的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)間的距離x，應(yīng)該減小勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，或增大加速電壓U₀………………………………………………………（2分）