Question

【題目】如圖1所示，兩條平行光滑水平導(dǎo)軌間距為L，左側(cè)彎成豎直面內(nèi)的四分之一圓弧，其半徑也為L，右側(cè)折成傾斜導(dǎo)軌，其傾角為θ=45°。導(dǎo)軌水平部分有豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖2所示。導(dǎo)體棒ab固定在圓弧導(dǎo)軌最高點(diǎn)，cd固定在水平導(dǎo)軌上，與圓弧底端相距為2L，導(dǎo)體棒ab、cd長(zhǎng)均為L、電阻均為R，質(zhì)量分別為m和2m。從0時(shí)刻開始，靜止釋放導(dǎo)體棒ab，當(dāng)ab到達(dá)圓弧底端時(shí)立即釋放導(dǎo)體棒cd。不計(jì)導(dǎo)軌電阻和空氣阻力，已知L=1m，R=0.5，m=1kg，g=10 m/s2，B0=2T。求：

(1)導(dǎo)體棒ab在圓弧導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中導(dǎo)體棒cd產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(2)若水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，且兩棒在水平導(dǎo)軌上不會(huì)相撞，則兩棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中通過導(dǎo)體棒截面的電荷量q是多少；

(3)在(2)的條件下，若傾斜導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，且導(dǎo)體棒落在傾斜導(dǎo)軌上立即被鎖定，求導(dǎo)體棒ab、cd最終靜止時(shí)的水平間距X。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

(1)已知物體自由下降高度為所用時(shí)間為 ，比較可知導(dǎo)體棒 到達(dá)圓弧底端前磁場(chǎng)已經(jīng)恒定，則 在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生焦耳熱的時(shí)間

①

由

②

又由

③

聯(lián)立①②③，解得

④

(2)導(dǎo)體棒 到達(dá)圓弧底端的速度滿足

⑤

由題意可知，兩根導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)滿足系統(tǒng)動(dòng)量守恒，且末速度相同，有

⑥

對(duì)導(dǎo)體棒，從靜止到速度為，由動(dòng)量定理，有

⑦

聯(lián)立⑤⑥⑦，解得

⑧

(3)第(2)中，由

(其中Δx為兩根導(dǎo)體棒相對(duì)位移）

解得

⑨

導(dǎo)體棒拋出后， 空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間

⑩

水平分位移

此過程中導(dǎo)體棒與水平方向分速度相同，因此水平分位移相同，有

滿足

故導(dǎo)體棒落在傾斜導(dǎo)軌后導(dǎo)體棒仍在水平導(dǎo)軌上，兩根導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌再次構(gòu)成閉合回路，對(duì)導(dǎo)體棒，設(shè)其接下來在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的對(duì)地位移為，由動(dòng)量定理有

解得

滿足

故導(dǎo)體棒最終靜止在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)體棒水平間距為