Question

5．如圖所示，長2cm的木板AB靜止在粗糙水平地面上，C為其中點，木板上表面AC部分光滑，CB部分粗糙，下表面與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.1．木板右端靜止放置一個小物塊（可看成質(zhì)點），它與木板CB部分的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2．已知木板和小物塊的質(zhì)量均為2kg，重力加速度g取10m/s²．現(xiàn)對木板施加一個水平向右的恒力F，

（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，求恒力的最大值F_m；
（2）當F=20N時，求小物塊經(jīng)多長時間滑到木板中點C；
（3）接第（2）問，當小物塊到達C點時撤去F，求小物塊運動到A端時木板的速度？

Answer 1

分析 （1）為使小物塊與木板保持相對靜止，恒力達到最大時，兩者之間的靜摩擦力恰好達到最大值，分別以物塊和整體為研究對象，由牛頓第二定律列式，即可求解．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出物塊和木板的加速度．當小物塊滑到木板中點C時，兩者位移之差等于板長的一半，由此由位移公式列式求解時間．
（3）由速度時間公式求得撤去F時物塊與木板的速度．由于AC段光滑，此后物塊做勻速運動，由位移公式求小物塊運動到A端時的時間，再求得木板的速度．

解答 解：（1）設小物塊能夠達到的最大加速度為a_m．此時，物塊與木板間的靜摩擦力達到最大值．根據(jù)牛頓第二定律得：
對物塊有 μ₂mg=ma_m．
解得 a_m=2m/s²．
對整體有 F_m-μ₁（M+m）g=（M+m）a_m．
解得 F_m=12N
（2）當F=20N時，此時小物塊相對于木板發(fā)生相對滑動，由牛頓第二定律得：
對木板有 F-μ₁（M+m）g-μ₂mg=Ma₁．
解得 a₁=6m/s²．
小物塊加速度 a₂=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=μ₂g=2m/s²．
當小物塊滑到木板中點C時，有 
   $\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$=$\frac{L}{2}$
解得  t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$s
（3）設撤去外力時木板和物塊的速度分別為v₁和v₂．
則 v₁=a₁t₁=6×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=3$\sqrt{2}$m/s，v₂=a₂t₁=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$m/s
撤去外力后，物塊勻速運動，木板勻減速，設加速度大小為a₃．
則 μ₁（M+m）g=Ma₃．
得 a₃=2m/s²
設小物塊從長木板中點C滑到A點的時間為t₂．則有
   （v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$）-v₂t₂=$\frac{L}{2}$
解得 t₂=（$\sqrt{2}$-1）s（另一解不合理舍去）
小物塊運動到A端時木板的速度 v₃=v₁-a₃t₂=3$\sqrt{2}$-2×（$\sqrt{2}$-1）=（$\sqrt{2}$+2）m/s
答：
（1）為使小物塊與木板保持相對靜止，恒力的最大值F_m是12N．
（2）當F=20N時，小物塊經(jīng)$\frac{\sqrt{2}}{2}$s時間滑到木板中點C；
（3）當小物塊到達C點時撤去F，小物塊運動到A端時木板的速度是（$\sqrt{2}$+2）m/s．

點評 本題是復雜的力學綜合題，要邊計算邊分析物體的運動情況，要抓住各個過程之間的聯(lián)系，如速度關系、位移關系，運用牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合研究．