Question

（2008?豐臺區(qū)一模）如圖所示，光滑的圓弧軌道AB、EF，半徑AO、O′F均為R且水平．質(zhì)量為m、長度也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切．一質(zhì)量為m的物體（可視為質(zhì)點）從軌道AB的A點由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車立即向右運動．當(dāng)小車右端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車右端且相對于小車靜止，同時小車與壁DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體繼續(xù)運動滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車．求：

（1）水平面CD的長度和物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h；
（2）當(dāng)物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，小車立即向左運動．如果小車與壁BC相碰后速度也立即變?yōu)榱�，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端多遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）設(shè)物體從A滑至B點時速度為v₀，在m與小車相互作用過程中，系統(tǒng)動量守恒，分別以物體和小車作為研究對象，根據(jù)機(jī)械能守恒聯(lián)立方程即可求解；
（2）物體從CD滑下后與小車達(dá)到相對靜止，有共同速度，結(jié)合動能定理對小車和物體分析，分別求出物體相對小車的位移和小車滑行的位移．從而得出Q點距小車右端的距離．

解答：解：
（1）設(shè)物體從A滑至B點時速度為v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒有：mgR=

1

2

mv

2 0

由已知，m與小車相互作用過程中，系統(tǒng)動量守恒
mv₀=2mv₁                                                             
設(shè)二者之間摩擦力為f，
以物體為研究對象：-f?sCD=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

以車為研究對象：f(sCD-R)=

1

2

m

v

2 1

解得：sCD=

3

2

R
車與ED相碰后，m以速度v₁沖上EF

1

2

mv

2 1

=mgh
解得：h=

R

4

（2）由第（1）問可求得  f=

1

2

mgv1=

gR 2

由能量守恒：mgR＞fR+fx
mgR＞

1

2

mgR+

1

2

mgx
解得  x＜R       所以物體不能再滑上AB                                 
即在車與BC相碰之前，車與物體會達(dá)到相對靜止，設(shè)它們再次達(dá)到共同速度為v₂：
則有：mv₁=2mv₂                                                       
相對靜止前，物體相對車滑行距離s₁
fs1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

×2m

v

2 2

s1=

1

4

R
車停止后，物體將做勻減速運動，相對車滑行距離s₂
a=

f

m

2as₂=v₂²                                                              
s2=

1

8

R
物體最后距車右端：
s總=s1+s2=

3

8

R
答：（1）水平面CD的長度和物體m滑上軌道EF的最高點相對于E點的高度h為

R

4

；
（2）Q點距小車右端的距離為

3

8

R

點評：本題綜合考查了動能定理、機(jī)械能守恒定律以及能量守恒定律，關(guān)鍵是理清運動的規(guī)程，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．