Question

4．某質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道離地面的高度等于地球的半徑R，已知地球表面的重力加速度為g，忽略地球的自轉(zhuǎn)效應(yīng)，則（　�。�

• A． 衛(wèi)星的繞行速度大小為$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$
• B． 衛(wèi)星的繞行周期大小為2π$\sqrt{\frac{2R}{g}}$
• C． 衛(wèi)星所在處的重力加速度大小為$\frac{1}{2}$g
• D． 衛(wèi)星的動(dòng)能大小為$\frac{1}{4}$mgR

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力，在地球表面，萬有引力等于物體的重力，根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式即可求解．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，地球表面物體重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$，衛(wèi)星的軌道半徑r=2R，所以有$v=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{2R}}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$=$\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}（2R）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{8R}{g}}$，故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)萬有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}$得$g′=G\frac{M}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{4{R}_{\;}^{2}}=\frac{g}{4}$，故C錯(cuò)誤；
D、由A得到$v=\sqrt{\frac{gR}{2}}$，衛(wèi)星的動(dòng)能${E}_{k}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}m\frac{gR}{2}=\frac{1}{4}mgR$，故D正確
故選：D

點(diǎn)評(píng) 該題為天體運(yùn)動(dòng)的典型題型，由萬有引力提供向心力，再根據(jù)向心力的基本公式求解，解題過程中要注意黃金代換式$GM=g{R}_{\;}^{2}$的應(yīng)用．