Question

如圖甲所示，在空心三棱柱CDF以外足夠大的空間中，充滿著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．三棱柱的軸線與磁場(chǎng)平行，截面邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，三棱柱用絕緣薄板材料制成，其內(nèi)部有平行于CD側(cè)面的金屬板P、Q，兩金屬板間的距離為d，P板帶正電，Q板帶負(fù)電，Q板中心有一小孔，P板上與小孔正對(duì)的位置有一個(gè)粒子源S，從S處可以發(fā)出初速度為0、帶電量為+q、質(zhì)量為m的粒子，這些粒子與三棱柱側(cè)面碰撞時(shí)無能量損失．試求：
（1）為使從S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，P、Q之間的電壓U應(yīng)滿足什么條件？（Q與CD之間距離不計(jì)）
（2）粒子從S點(diǎn)出發(fā)又回到S點(diǎn)的最短時(shí)間是多少？
（3）若磁場(chǎng)是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖乙所示，圓柱的軸線與三棱柱的軸線重合，且a=（

3

3

+

1

10

）L，要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，則P、Q之間的電壓不能超過多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，列出粒子的速度與電壓的關(guān)系；根據(jù)洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合等邊三角形邊長(zhǎng)，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系求得加速電場(chǎng)的電壓；
（2）求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)幾何關(guān)系知，從S點(diǎn)發(fā)射出的某帶電粒子從S點(diǎn)發(fā)射到第一次返回S點(diǎn)經(jīng)歷的周期的個(gè)數(shù)，從而得出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）若a=（

3

3

+

1

10

）L，設(shè)D點(diǎn)到磁場(chǎng)邊界的最近距離為L(zhǎng)₁，由已知條件得求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑滿足的條件，然后結(jié)合（1）的結(jié)論求出電壓滿足的條件．

解答：解：（1）設(shè)粒子到達(dá)Q板小孔時(shí)的速度為υ，由動(dòng)能定理得：
qU=

1

2

mv2     ①
從小孔發(fā)出的粒子在洛倫茲力的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律
qvB=m

v2

R

     ②
粒子能回到小孔的條件是：L=2R（2n-1）（n=1，2，3，…）     ③
由①②③解得：U=

qB2L2

8m(2n-1)2

  （n=1，2，3，…）     ④
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πm

qB

   ⑤
當(dāng)④式中n=1時(shí)，粒子從S出發(fā)又回到S時(shí)間最短，粒子在磁場(chǎng)中分別以D、F、C為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為：R=

mv

qB

     ⑥
設(shè)粒子從S到小孔所用時(shí)間為t₁，則：

v

2

t1=d       ⑦
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2=3×

5

6

T        ⑧
粒子從S點(diǎn)出發(fā)又回到S點(diǎn)的最短時(shí)間為：t=2t₁+t₂       ⑨
由以上各式解得：t=

m

qB

(

8d

L

+5π)                 ⑩
（3）設(shè)D點(diǎn)到磁場(chǎng)邊界的最近距離為L(zhǎng)₁，由已知條件得：
L1=a-

L

2cos30°

=

L

10

        ⑨
從S發(fā)出的粒子要回到S，就必須在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即滿足條件：
R≤L1=

L

10

     ⑩
由③④⑨⑩式解得：U≤

qB2L2

200m

  
答：（1）為使從S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，P、Q之間的電壓U應(yīng)滿足：U=

qB2L2

8m(2n-1)2

  （n=1，2，3，…）；
（2）粒子從S點(diǎn)出發(fā)又回到S點(diǎn)的最短時(shí)間是t=

m

qB

(

8d

L

+5π)；
（3）若磁場(chǎng)是半徑為a的圓柱形區(qū)域，如圖乙所示，圓柱的軸線與三棱柱的軸線重合，且a=（

3

3

+

1

10

）L，要使S點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到S點(diǎn)，則P、Q之間的電壓不能超過：U≤

qB2L2

200m

．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在有圓形邊界的磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，畫出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)分析臨界條件，求半徑和圓心角是常用的思路．