Question

10．如圖所示，豎直放置的平行金屬板A、B，板間距離為L(zhǎng)，板長(zhǎng)為2L，A板內(nèi)側(cè)中央O處有一個(gè)體積不計(jì)的放射源，在紙面內(nèi)向A板右方均勻地以等大的速率朝各個(gè)方向輻射正離子，離子質(zhì)量m=8.0×10^-26kg，離子電荷量q=8.0×10^-19C，離子的速率v₀=2.0×10⁵m/s，不計(jì)極板邊緣處及離子重力的影響，則：
（1）若U_AB=0，則打到B板上的離子占總離子數(shù)的幾分之幾？
（2）若使所有離子都能打到B板，則U_AB至少為多大？
（3）若使所有離子都不能打到B板，則U_BA至少為多大？
（4）若打到B板的離子只占總離子數(shù)的$\frac{37}{90}$，則U_BA是多大？（已知sin37°=$\frac{3}{5}$）

Answer 1

分析 （1）放射源在紙面內(nèi)向A板右方均勻地以等大的速率朝各個(gè)方向輻射正離子，所以向某一方向輻射的離子數(shù)與此方向的夾角成正比． 由幾何關(guān)系求出放射源與AB所成的夾角，此夾角占離子源輻射角180°的比例就是打到B板上的離子數(shù)點(diǎn)總離子的比例．
（2）考慮臨界情況，沿平行于極板方向射出的離子做類平拋運(yùn)動(dòng)剛好打到B點(diǎn)，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出加速度，從而求出了極板間的電壓．
（3）考慮特殊情況，若垂直于極板方向的離子做勻減速直線運(yùn)動(dòng)恰恰到達(dá)B板速度為零，由動(dòng)能定理求出電壓．
（4）已知了離子數(shù)的占比，則已知了輻射角點(diǎn)平角的比例，也就是已知了離子初速度方向與極板的夾角，此時(shí)離子做斜拋運(yùn)動(dòng)，由斜拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律就能求出極板間的電壓．

解答 解（1U_AB=0，離子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，O點(diǎn)與板兩端連線的夾角：$θ=2arctan\frac{L}{L}=90°$  
   打到B板上的離子占總離子數(shù)的比值：$\frac{N}{{N}_{總}}=\frac{θ}{180°}=\frac{90°}{180°}=\frac{1}{2}$   
（2）若平行于A板的離子能夠打到B板，則所有離子都能打到B板
   豎直方向：L=v₀t  
   水平方向：$L=\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{AB}}{mL}{t}^{2}$
   聯(lián)立以上兩式，代入數(shù)據(jù)解得：U_AB=8000V．
（3）若垂直于A板的離子不能夠打到B板，則所有離子都不能夠打到B板，
  由動(dòng)能定理得：$q{U}_{BA}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$   
  代入數(shù)據(jù)解得：U_BA=2000V 
（4）設(shè)剛好能夠打到B板邊緣的離子速度方向與水平方向的夾角為α
   $\frac{N}{{N}_{總}}=\frac{θ}{90°}=\frac{37}{90}$，所以θ=37°
   豎直方向：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}sinθ}$
  水平方向：$L={v}_{0}cosθ•t-\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{BA}}{mL}{t}^{2}$
  解得：U_BA=960V 
答：（1）若U_AB=0，則打到B板上的離子占總離子數(shù)的二分之一．
（2）若使所有離子都能打到B板，則U_AB至少為8000V．
（3）若使所有離子都不能打到B板，則U_BA至少為2000V．
（4）若打到B板的離子只占總離子數(shù)的$\frac{37}{90}$，則U_BA是960V．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵點(diǎn)在于：一是打到某一方向的離子數(shù)占比應(yīng)與此方向的輻射角成正比；二是此題考察了幾個(gè)特殊情況，沿平行于極板方向射出的離子做類平拋運(yùn)動(dòng)、沿垂直于極板方向的離子做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，這兩種情況是臨界狀態(tài)，從而求出電壓的最小值．