Question

13．在勇氣號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過多次彈跳才停下來．假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度大小為υ₀，已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T；火星可視為半徑為R的均勻球體．不計(jì)大氣阻力．求：
（1）火星質(zhì)量大小？
（2）它第二次落到火星表面時(shí)速度的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力，根據(jù)衛(wèi)星的周期和半徑求得火星的質(zhì)量M；
（2）火星表面重力與萬有引力相等求得火星表面的重力加速度，再根據(jù)動(dòng)能定理求得第二次落地時(shí)的速度大小．

解答 解：（1）火星對(duì)衛(wèi)星的萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得火星的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）設(shè)火星表面重力加速度為g
由重力與萬有引力相等有：
$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$
可得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
小球第二次落地根據(jù)動(dòng)能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入重力加速度可解得：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{R}^{2}{T}^{2}}}$
答：（1）火星質(zhì)量大小為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小為$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{R}^{2}{T}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬有引力的應(yīng)用主要從以下兩方面入手：一是萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，二是星球表面重力與萬有引力相等．