Question

14．如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O點(diǎn)，二者夾角θ=30°，在MO右側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E，方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO左側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)在磁場(chǎng)的邊界上．現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙內(nèi)以速度v（$0≤v≤\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向右，不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子距PQ的最大距離；
（2）速度最大的粒子自O(shè)開(kāi)始射入磁場(chǎng)至返回水平線PQ所用的時(shí)間；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與臨界幾何結(jié)合即可求解速度最大的粒子距PQ的最大距離；
（2）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的示意圖，分過(guò)程分別求解粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁，粒子出磁場(chǎng)做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂，以及粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₃，將三段時(shí)間加和即可；
（3）畫(huà)出各種速度入射粒子的軌跡過(guò)程圖，運(yùn)用幾何思維分析磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T(mén)，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁

根據(jù)題意粒子速度：v=$\frac{E}{B}$ ①
洛倫茲力提供向心力得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$ ②
幾何關(guān)系可得：x_max=R（1+sinθ） ③
聯(lián)立①②③式得：x_max=$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$
（2）根據(jù)周期公式可得：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₁=$\frac{1}{3}$T ⑤
設(shè)粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后應(yīng)做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的距離為s，勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，
由幾何關(guān)系知：s=$\frac{R}{tanθ}$ ⑥
t₂=$\frac{s}{v}$ ⑦
過(guò)MO后粒子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，則：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}{t}_{3}^{2}$  ⑧
則速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線POQ所用的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃ ⑨
聯(lián)立①②④⑤⑥⑦⑧⑨式得：t=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$
（3）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，
故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積．

扇形OO′N(xiāo)的面積S=$\frac{1}{3}π{R}^{2}$
△OO′N(xiāo)的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²
又△S=S-S′
解得：△S=$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$
答：（1）速度最大的粒子距PQ的最大距離為$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$；
（2）速度最大的粒子自O(shè)開(kāi)始射入磁場(chǎng)至返回水平線PQ所用的時(shí)間為$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)以及在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系聯(lián)立去解決，電場(chǎng)中的類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解與牛頓定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律結(jié)合的思路去解決；解題的關(guān)鍵是要畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的過(guò)程圖．