Question

9．如圖所示，質(zhì)量m=3kg的小物塊以初速度v₀=4m/s水平向右拋 出，恰好從A點(diǎn)沿著圓弧的切線方向進(jìn)入圓弧軌道．圓弧軌道的半徑為R=3.75m，B點(diǎn)是圓弧軌道的最低點(diǎn)，圓弧軌道與水平軌道BD平滑連接，A與圓心O的連線與豎直方向成37°角．MN是一段粗糙的水平軌道，小物塊與MN間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，軌道其他部分光滑．最右側(cè)是一個(gè)半徑為r=0.4m的半圓弧軌道，C點(diǎn)是圓弧軌道的最高點(diǎn)，半圓弧軌道與水平軌道BD在D點(diǎn)平滑連接．已知重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小．
（2）若MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=6m，求小物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（3）若小物塊恰好能通過(guò)C點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)度L'．

Answer 1

分析 （1）小物塊先做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)A點(diǎn)的速度方向求出經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速度．從A到B，運(yùn)用機(jī)械能守恒求出經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)，由牛頓定律求壓力．
（2）小物塊由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)定能定理求出物塊到達(dá)C點(diǎn)的速度．在C點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求物塊對(duì)軌道的壓力．
（3）小物塊剛好能通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出C點(diǎn)的速度．再由動(dòng)能定理求MN的長(zhǎng)度L'．

解答 解：（1）物塊做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：v₀=v_Acos37°，
解得：v_A=$\frac{{v}_{0}}{cos37°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
小物塊經(jīng)過(guò)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
   $\frac{1}{2}mv_A^2+mg（R-Rcos{37°}）=\frac{1}{2}mv_B^2$
小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)，有：${F_N}-mg=\frac{mv_B^2}{R}$
解得：F_N=mg（3-2cos37°）+m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$=3×10×（3-2×0.8）+3×$\frac{{5}^{2}}{3.75}$=62N
根據(jù)牛頓第三定律，小物塊對(duì)軌道的壓力大小是62N．
（2）小物塊由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，根據(jù)定能定理有：
$-umgL-2mgr=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${F_N}^′+mg=\frac{mv_C^2}{r}$
代入數(shù)據(jù)解得：${F_N}^′=60N$
根據(jù)牛頓第三定律，小物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是60N．
（3）小物塊剛好能通過(guò)C點(diǎn)時(shí)，根據(jù) $mg=\frac{mv'_C^2}{r}$，解得：$v_C^'$=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s
小物塊從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理有：
$-μmgL'-2mgr=\frac{1}{2}mv{_C^'^2}-\frac{1}{2}mv_B^2$
代入數(shù)據(jù)解得：L'=10m
答：（1）小物塊經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是62N．
（2）若MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=6m，小物塊通過(guò)C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小是60N．
（3）若小物塊恰好能通過(guò)C點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度L'是10m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要理清物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，分析圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，并把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件．