導(dǎo)數(shù)練習(xí)100分參考答案

一、選擇題

1.B　 設(shè)所求切線斜率為k,那么，k===12,所以，所求切線方程為

y-8=12(x-2),整理得:y=12x-16.

2.A　 設(shè)切點(diǎn)P(x,)，那么切線斜率k=y′|=.又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)O(0，0)，及點(diǎn)P，則k=,所以=.

解得x=2.所以斜率k=.從而切線方程為:y=x.

3.C

4.A　 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為,由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知：y′|=k=4,又因?yàn)?i>y′|=x,

所以x=±2,所以點(diǎn)P 坐標(biāo)為.

5.D　 設(shè)物體在時(shí)刻5時(shí)的瞬時(shí)速度為:v(5)= .

6.C　 當(dāng)圓半徑變化t s時(shí)，圓面積為S=πr,那么圓面積變化速率為v=S′=2πr.r′;又因?yàn)?i>r′=0.1 cm/s.從而r=10 cm時(shí)，v=2π×10×0.1 cm/s=2π cm/s.

7.C　 設(shè)t s時(shí)刻圓面積為S，則S=πr,時(shí)刻t圓面積增加速率為S′,對(duì)應(yīng)半徑增加速率

u=r′,S′=2πr.r′,此時(shí)S′=10π cm/s,r=20 cm.

由10π=2π×20×r′,從而r′=　cm/s.

8.C　 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在P點(diǎn)處切線斜率k=y′,

第9題圖解

然后采用試值法，可知當(dāng)n=5時(shí)滿足方程①.

9.D　 設(shè)光源S運(yùn)動(dòng)路程為l,則SB＝l=5t,此時(shí)影子Q運(yùn)動(dòng)路

程為x=AQ,又由于△APQ∽△BPS(如圖).

從而,.

∴,∴x=25t,從而影子Q運(yùn)動(dòng)速率為v=x′=25.

10.B　 點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為x=rcost,那么點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速率v=x′=-rsint.

二、填空題

11.　 分析　 從y′=1入手，寫出兩切線的方程.

解　 y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直線與直線y=x平行.∴k=1.

命y′=1,即3x-2x-1=0,(3x+1)(x-1)=0,x=-或1,x=-時(shí),

y=-(-)+-=-,x=1時(shí),y=-1+1+2×1=2.

故切點(diǎn)為A,B(1,2)切線方程為:l:y+=x+,即x-y-=0,l:y-1=x-2,

即x-y+1=0,兩切線間的距離為:d==.

12.S′=-2esin(ωt+φ)+ωecos(ωt+φ).

S′=(e)′sin(ωt+φ)+e(sin(ωt+φ))′=-2esin(ωt+φ)+eωcos(ωt+φ).

13.　 由y′=得P(x,y)的切線斜率k=,

P點(diǎn)的法線斜率k=-,

∴法線方程為y-y=-2(x-x),令y=0得x=,

即Q的橫坐標(biāo)為,|RQ|=|x-x|===.

點(diǎn)評(píng)　 有關(guān)曲線切線的問(wèn)題，一般都可用導(dǎo)數(shù)的幾何意義完成，曲線在某一定點(diǎn)處的切線是惟一的，因此斜率也是惟一的(若存在的話)，采用斜率相等這一重要關(guān)系，往往都可解決這類問(wèn)題.

14.(0,-a),　 ∵y′=2x,y′|=2a,

∴l:y-a=2a(x-a),令x=0得y=-a,

∴Q(0,-a),由k=2a=tan(90°-30°)=,∴a=.

三、解答題

15.分析　 根據(jù)題目條件可列出多個(gè)不等式，但要用它們解出全部4個(gè)未知系數(shù)是困難的，問(wèn)題在于，要回答本題的兩個(gè)問(wèn)題，是否必須求出所有的未知系數(shù)，想到這里，便會(huì)豁然開朗.

解　 f ′(x)=3x-2ax,f ′(1)=3-2a

∵切線斜率為1,∴3-2a=1,a=1

3x-2ax=3x-2x

令3x-2x=1,x=1或-

故已知曲線斜率為1的切線有兩條.

因?yàn)?i>A在曲線上，∴c=1-1+b=b,

過(guò)點(diǎn)A的切線為y-c=x-1,即y=x+c-1,∴d=c-1.

當(dāng)x=-時(shí)，y=(-)-(-)+c,

故相應(yīng)切點(diǎn)為(-,c-).

切線方程為y-(c-)=x+,即y=x+c+.

兩直線間距離為.

16.解　 (1)函數(shù)y=x+2x的導(dǎo)數(shù)y′=2x+2,曲線C在點(diǎn)P(x,x+2x)處的切線方程是

y-(x+2x)=(2x+2)(x-x)

即y=(2x+2)x-x　　　　　　　　　　 ①

函數(shù)y=-x+a的導(dǎo)數(shù)y′=-2x.

曲線C₂在點(diǎn)Q(x,-x+a)處的切線方程是y-(-x+a)=-2x(x-x)

即y=-2xx+x+a　　　　　　　　　　　　 ②

如果直線l是過(guò)P和Q的公切線，則①式和②式都是直線l的方程，

所以：

消去x，得2x+2x+1+a=0

若Δ=4-8(1+a)=0,即a=-，得x=-，x=-,

∴P(-,-)、Q(-,-)，P與Q重合，所以：當(dāng)a=-時(shí)，C與C只有一條公切線，

公切線方程是：y=x-.

(2)由(1)知：當(dāng)

Δ=4-8(1+a)>0即a<-時(shí)，P與Q不重合，此時(shí)C與C有兩條公切線.

設(shè)一條公切線上的切點(diǎn)為P(x,y)、Q(x,y)，其中P∈C，Q∈C，則x+x=-1

y+y=(x+2x)+(-x+a)=x+2x-(x+1)+a=a-1

線段PQ的中點(diǎn)E.

同理，另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)也是.

∴當(dāng)C與C有兩條公切線時(shí)，相應(yīng)的兩公切線段相互平分.

點(diǎn)評(píng)　 本題把導(dǎo)數(shù)與二次曲線位置關(guān)系融為一體，重在考查用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.

17.解　 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),f ′(x)=-1=-.

由f ′(x)<0及x>-1得x>0.∴當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f(x)是減函數(shù)，即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞).

(2)由(1)知，當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，f ′(x)>0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f ′(x)<0.

因此，當(dāng)x>-1時(shí)，f(x)≤f(0)，即ln(x+1)-x≤0.

∴l(xiāng)n(x+1)≤x.令g(x)=ln(x+1)+-1,

則g′(x)=-.

當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g′(x)>0.

∴當(dāng)x>-1時(shí)，g(x)≥g(0),即ln(x+1)+-1≥0,

∴l(xiāng)n(x+1)≥1-.

綜上可知，當(dāng)x>-1時(shí)，有1-≤ln(x+1)≤x.

18.解　 (1)由圖可知s=OC+CB.由三角函數(shù)定義可知：OC=rcosωt,CA=rsinωt,

所以，CB=,從而，

s=rcosωt+,此為滑塊運(yùn)動(dòng)方程.

(2)s關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)s′就是滑塊運(yùn)動(dòng)速率v即

v=st′=(rcosωt+)′=-rωsinωt+,

v=-rωsinωt-

19.解　 (1)s₁′=v,s₂′=at+v

s為勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為v;s為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a.

(2)s′=2πcos2πt.令s′=0,

即cos2πt=0,得2πt=kπ+,t=+.